椭圆大题中的向量问题—基础篇.docxVIP

椭圆中的向量问题 一、基础知识部分：向量的数量积运算、垂直关系 角度判断、椭圆内的平行四边形问题． 1．向量的数量积问题 记点P t,0 是x 轴上的一点， A x ,y 、B x ,y 是直线l： y kx m （ l不经过椭圆 x2 y2 1 1 2 2 uur uuur 的顶点）和椭圆 a2 1 a b 0 的两个交点，则PA PB 计算过程可分为以下三步： b2 uur uuur 写出向量的坐标（末 初），并将 PA PB 表示成 f x x ,x x 的形式 uur uuur 1 2 1 2 PA PB x 1 t,y 1 x t,y 2 2 x t,kx 1 1 m x t,kx m 2 2 k2 1 x x km t x x m 2 t2 ······① 1 2 1 2 联立直线l和椭圆，得出 x x f k,m ， x x f k,m ； 1 2 1 1 2 2 y kx m 联立 ，得 a2 k2 b2 x2 2kma 2 x a2 m 2 b2 0 ， b2 x2 a2 y2 a2b2 0 则x x 2kma 2  ， x x a2 m 2 b2 ， 1 2 a2 k2 b2 1 2 a2 k2 b2 将 x  x ， x x uur uuur uur uuur 代入①式中，得到 PA PB g k,m ，将 PA PB 转化为含 k,m 的式子 1 2 1 2 uur uuur a2 m 2 b2 2kma 2 ∴ PA PB k2 1 a2 k2 b2 km t a2 k2 b2 m 2 t2 t t2 a2 b2 m 2 a2b2 k2 1 2kmta2 a2 k2 b2 a2 k2 b2 其中 I、II两步可以互换顺序 uu uur uuur 同理，若点 P 0,t ，则 PA PB t2 a2 b2 m 2 a2b2 k2 1 2mtb2 a2 k2 b2 a2 k2 b2 ． uuur uuur 特殊情况：当 P 为原点O 时， OA OB a2 b2 m 2 a2b2 k2 1 a2 k2 b2 基础练习：请按照以下条件作答 x2 已知斜率为k 的直线l经过点 1,0 与椭圆 y2 1 交于A、B 两点， 2 uuur uuur 若点O 为原点，请写出OA OB 关于斜率k 的关系式； uur uuur 已知点P 2,0 ，请写出PA PB 关于斜率k 的关系式； 若斜率为k 的直线l经过点 0,2 与椭圆 x2 y2 3 2 交于A、B 两点（注意 0 ）， uuur uuur 若点O 为原点，请写出OA OB 关于斜率k 的关系式； uur uuur 若点P 1,0 ，请写出PA PB 关于斜率k 的关系式； uur uuur 若点P 2,0 ，请写出PA PB 关于斜率k 的关系式； 求向量数量积的问题（给出点 P 的坐标） ：例 1：已知椭圆C x2 ? y2 ? 1 ，直线l 经过C 的右焦点 F 与椭圆交于 A、B 两点，点 P ?3,0 ?． ： 4 3 写出uur ? uuur 关于直线l 的斜率k 的关系式；（ uur? uuur ? 7k 2 ? 15 ） PA PB PA PB 4k 2 ? 3 uur uuur 22 若 PA ? PB ? ，求直线l 的方程；（ y ? ? x ? 1） 7 uuur uuur uur uuur uur uuur 29 若OA ? OB ? ?2 ，求 PA ? PB 的值；（ k 2 ? 2 ， PA ? PB ? ） 11 求uur ? uuur 的取值范围；（ uur ? uuur? ? 7 ,5 ? ） PA PB PA PB ?? 4 ?? uuur uuur 24 uur uuur uur uuur ? 5 22 ? ? ?若 AP ? PB ≤ ，求 PA ? PB 的取值范围；（ k 2 ≥1， PA ? PB ? , ） ? ? 7 ? 4 7 ? 记 D、E 分别为椭圆C 的左右顶点， uuur uuur uuur uuur 90 ①．若 AD ? EB ? AE ? DB ? ，求直线l 的方程；（ y ? ? x ? 1） 7 ②．求uuur ? uuur ? uuur ? uuur 的取值范围．（ uuur ? uuur ? uuur? uuur? ? 21,16? ） AD EB AE DB AD EB AE DB ?? 2 ?? 练习 1.1 32x2 3 2 已知椭圆 ? y2 ? 1 的离心率e ? ，若直线l ： y ? kx ? 与椭圆恒有两个不同的交 4 2 uuur uuur 点 A、B