椭圆与双曲线性质有关性质推论归纳共92条.docxVIP

PAGE PAGE 10 椭圆与双曲线的对偶性质 92 条 | PF 1  | ? | PF 2 椭 圆 |? 2a ?x2 ? 标准方程： a2 y2 ? 1 b2 | PF | 3． 1 d 1 ? e ? 1 点P 处的切线 PT 平分△PF F 在点 P 处的外角. 1 2 PT 平分△PF F 在点 P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的 1 2 圆，除去长轴的两个端点. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 1以焦点半径 PF 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 1 设 A 、A 为椭圆的左、右顶点，则△PF F 在边 PF （或 PF ）上的旁切圆，必与A A 所在 1 2 A.A的直线切于 （或 ） A . A 2 1 1 2 2 1 1 2 ?x2 ? 椭圆 a2 y ? 1（a＞b＞o）的两个顶点为A (?a,0) 2b2 1 2 , A (a,0) ，与y 轴平行的直线交椭圆 2 于 P P 时 A P 与 A P x2 y2 ??交点的轨迹方程是 1 ? ? 1、2 1 1 2 2 . a2 b2 x2 y2 x x y y 若 P (x , y ) 在椭圆 ? ? 1上，则过 P 的椭圆的切线方程是 0 ? 0 ? 1. 0 0 0 a2 b2 0 a2 b2 若 P (x , y ) 在椭圆 x2 ? y2 ? 1外 ，则过 作椭圆的两条切线切点为 、 ，则切点 Po P P 0 0 0 a2 b2 1 2 x x y y 弦 P P 的直线方程是 0 ? 0 ? 1. 1 2 a2 b2 ． AB 是椭圆 x2 ? a2 y ? 1 的不平行于对称轴且过原点的弦， M 为 AB 的中点， 则 2b2 2 k ? k OM AB ? ? b2 .a2 . ． 若 P (x , y ) 在 椭 圆 x2 ? y ? 1 内 ， 则 被 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是 2Po 2 0 0 0 a2 b2 ?x x y ? 0 0 y x 2 y 2 ? ?0 0 . ? ? a2 b2 a2 b2 x2 y2 x2 y2 x x y y 14．若 P (x , y ) 在椭圆 ? ? 1内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 ? ? 0 ? 0 . 0 0 0 a2 b2 a2 b2 a2 b2 15 ． 若 PQ 是 椭 圆 x2 ? y2 a2 b2 ? 1 （ a ＞ b ＞ 0 ） 上 对 中 心 张 直 角 的 弦 ， 则 1 ? 1 ? 1 ? 1 (r ?| OP |, r ?| OQ |) . r 2 r 2 a2 b2 1 2 1 2 ?x2 ? 若椭圆 a2 y ? 1（a＞b＞0）上中心张直角的弦 L 所在直线方程为 Ax ? By ? 1 ( AB ? 0) , 2b2 2 则(1) 1 ? 1 ? A2 ? B2 ;(2) L ? . 2 a4 A2 2 a4 A2 ? b4 B2 a2 A2 ? b2 B2  ?a2 ? b2 ? 给定椭圆 C 1 ： b2 x2 ? a2 y2 ? a2b2 （a＞b＞0）, C 2 ： b2 x2 ? a2 y2 ( a2 ? b2 ab)2 ,则(i) 对 C 上 任 意 给 定 的 点 P (x , y ) , 它 的 任 一 直 角 弦 必 须 经 过 C 上 一 定 点 1 ( a2 ? b2 M( a2 ? b2 x , ? a2 ? b2 0 a2 ? b2  y ) . 0 0 0 0 2 (ii)对C 2 上任一点 P 0 (x , y 0 0 ) 在C 1 上存在唯一的点M ,使得M 的任一直角弦都经过P 点. 0 设 P (x , y ) 为椭圆（或圆）C: x2 ? y ? 1 ＞ ＞ 上一点， 2(a 0,. b 0) P P 2 为曲线 C 的动弦, 0 0 0 a2 b2 1 2 且弦 P P , P P 斜率存在，记为 k , k , 则直线P P 通过定点 M (mx , ?my ) (m ? 1) 的充要条件是 0 1 0 2 1 2 1 2 0 0 k ? k 1 2 ? ? 1? m ? b2 1? m a2 . ?x2 ? 过椭圆 a2 y ? 1 (a＞0, b＞0)上任一点 A(x , y 2b2 0 0 2 b2 x ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆 于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且k BC ? 0 a2 y 0 （常数）. ?x2 y2 ?