2019年年全国高中数学联赛预赛试题及答案.docxVIP

第 第 PAGE 1 页 共 6 页 2012 年全国高中数学联合竞赛（四川初赛） ? ? ? ? ? 1、设集合 S ? x | x2 ? 5x ? 6 ? 0 ， T ? x | x ? 2 |? 3 ，则 S ? T =（ ） A、{x | ?5 ? x ? ?1} B、{x | ?5 ? x ? 5} C、{x | ?1 ? x ? 1} D 、{x |1 ? x ? 5} 2、正方体 ABCD ? A BC D 中 BC 与截面 BB D D 所成的角是（ ） 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? A、 6 B、 4 C、 3 D、 2 3、已知 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 ， g (x) ? kx ?1，则“ | k |? 2 ”是“ f ( x) ? g( x) 在 R 上恒成立”的（ ） A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 4、设正三角形? 1 的面积为S 1 ，作? 1 的内切圆，再作内切圆的内接正三角形，设为? ， 2 面积为 S 2 ，如此下去作一系列的正三角形? , ? 3 4 , ，其面积相应为S , S 3 4 , ，设S 1 ? 1 , T ? S ? S ? S ，则 lim T =（ ） n 1 2 n n??? n 6 4 3 A 、 5 B 、 3 C、 2 D 、2 | MO | 5、设抛物线 y2 ? 4x 的焦点为 F ，顶点为O ， M 是抛物线上的动点，则 | MF | 的最大 3值为（ ） 3 A 、  2 4 33B 、 C、 D 、 3 3 3 3 3 6、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半径为r 的一个实心球，此时球与容器壁及水面恰好都相切，则取出球后水面高为（ ） A、r B、2r C、3 12r D、3 15r ADFEBC二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 A D F E B C 7、如图，正方形 ABCD 的边长为 3， E 为 DC 的 中点， AE 与 BD 相交于 F ，则 FD ? DE 的值是 ． 18、(x2 ? x ? )6 的展开式中的常数项是 ．（用具体数字 1 x 作答） 9、设等比数列{a n  }的前n 项和为S n  ，满足 S n  (a ?1)2 ?n ? 4  ，则 S 20  的值为 ． 10、不超过 2012 的只有三个正因数的正整数个数为 ． 11、已知锐角 A, B 满足tan( A ? B) ? 2tan A ，则tan B 的最大值是 ． 12、从 1,2,3,4,5 组成的数字不重复的五位数中，任取一个五位数abcde ，满足条件“ a ? b ? c ? d ? e ”的概率是 ． 三、解答题（本大题共 4 个小题，每小题 20 分，共 80 分） 13、设函数 f (x) ? sin x ? 3cos x ?1 ， ? 求函数 f (x) 在[0, ] 上的最大值与最小值； 2  b cos c 若实数a, b, c 使得af (x) ? bf (x ? c) ? 1 对任意 x ? R 恒成立，求 a 14、已知a, b, c ? R? ，满足abc(a ? b ? c) ? 1 ， 求 S ? (a ? c)(b ? c) 的最小值； 当 S 取最小值时，求c 的最大值． 的值． 15、直线y ? kx ?1 与双曲线 x2 ? y2 ? 1的左支交于 A 、B 两点，直线l 经过点(?2,0) 和 AB 的中点，求直线l 在 y 轴的截距b 的取值范围． 16、设函数 f ? xn (1? x)2 在[ ,1]上的最大值为a （ n ? 1,2,3, ）． 1n 1 求数列{a n 2 n }的通项公式； 1 求证：对任何正整数n(n ? 2) ，都有a n ? (n ? 2)2 成立； 设数列{a n }的前n 项和为S n ，求证：对任意正整数n ，都有 S n ? 成立． 716 7 2012 年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）参考解答 一、选择题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分） 1、C 2、A 3、A 4、B 5、B 6、D 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分） 7、? 3 2 8、?5 9、0 10、14 11、 12、 2 24 15 2 三、解答题（本大题共 4 个小题，每小题 20 分，共 80 分） ? 13、解：（I）由条件知 f (x) ? 2sin( x ? ) ?1 ， （5 分） 3 由0 ? x ? ? 知， ? ? x ?