求向量组的极大无关组.pptVIP

返回 关于求向量组的极大无关组 * 第1页，共19页，编辑于2022年，星期一 * 思路之一: 定义法. (2) 向量组 中含向量个数最多的线性无关部分组都是向量组的极大无关组; (1) 假定 是某向量组中的 r 个向量, 如果 线性无关, 且向量组中任一向量都可由 线性表示, 则 是向量组的一个极大无关组; 此方法比较烦琐, 较少用 求向量组的极大无关组的方法总结 第2页，共19页，编辑于2022年，星期一 * 思路之二: 初等行变换法. (1) 将向量组中的各向量作为矩阵A的各列; (2) 对A施行初等行变换(注意仅限初等行变换); (3) 化A为阶梯形, 在每一阶梯中取一列为代表, 则所得向量组即为原向量组得一个极大无关组. 用初等行变换求极大无关组是最基本的方法. 第3页，共19页，编辑于2022年，星期一 * 思路之三: 利用等价性. 设 为某向量组的一个极大无关组, 则任意 r 个线性无关的部分组均为极大无关组. 第4页，共19页，编辑于2022年，星期一 * 例1 求下列向量组的一个极大无关组 分析: 按定义向量个数最多的线性无关部分组都是向量组的极大无关组. 第5页，共19页，编辑于2022年，星期一 * 思想: (i) 通过观察找出一个无关组; (ii) 往前面找出的无关组中增加一个向量, 若得到新的向量组仍然线性无关, 则得到了新的线性无关组, 否则, 继续考虑下一个向量 (iii) 重复步骤(ii)直到考虑完所有的向量为止, 这样最后得到的线性无关组便是原向量组的一个最大无关组. 第6页，共19页，编辑于2022年，星期一 * 解: 线性无关. 1) 2) 因为 的对应分量不成比例, 所以 线性无关. 3) 下面考虑向量组 线性相关. 4) 下面考虑向量组 设存在一组数 使得 即 第7页，共19页，编辑于2022年，星期一 * 从而 解得 即 也即 所以 是向量组 的一个极大无关组. 第8页，共19页，编辑于2022年，星期一 * 例2 考虑向量组 求此向量组的一个极大线性无关组, 并把其余向量分别用该极大无关组线性表示. 第9页，共19页，编辑于2022年，星期一 * 解: 用这些向量作为矩阵A的列向量，并对矩阵A作初等行变换 第10页，共19页，编辑于2022年，星期一 * 可见, 为一个极大无关组. 事实上, 均为极大无关组. 第11页，共19页，编辑于2022年，星期一 * 进一步有 所以有 注: 这里用到初等行变换不改变列向量之间的线性关系. 第12页，共19页，编辑于2022年，星期一 * 分析: 若能证明向量组 例3 试证: 若 n 维单位向量 可以由 n 维向量 线性表示, 则 线性无关. I: II: 等价, 则 又 从而 因此, 线性无关. 第13页，共19页，编辑于2022年，星期一 * 证明: 由于 n 维单位向量 可以由 故向量组 n 维向量 线性表示, 又显然有 n 维 向量 可以由 n 维单位向量 线性表示, I: II: 等价, 则 又 从而 因此, 线性无关. 第14页，共19页，编辑于2022年，星期一 返回