第12讲 解析几何填空压轴题（解析版）.docxVIP

解析几何填空压轴题 1．（山东临沂模拟）如图，抛物线的焦点为为抛物线在第一象限内的一点，抛物线在点处的切线与圆相切(切点为)且交轴于点，过点作圆的另一条切线(切点为)交轴于点．若已知，则的最小值为_____________． 【答案】 【分析】选设出点的坐标，根据导数的几何意义得到切线的斜率，再根据角的互余，得到的正切值，最后再中，由正弦定理可得到的表达式，再通过其表达式求出最小值． 【解析】，设，由，则，抛物线，∴， 不妨设，则，∵，∴， ∴，∴，∴，∴， 在中，由正弦定理有 ． 当且仅当时，即时，． 【名师点睛】关键点睛：解决本题一是要将问题转化到中运用正弦定理，二是要运用三倍角公式，三是要构造二次齐式，最后是要使用基本不等式． 2．（湖北武汉高三月考）已知过抛物线的焦点，且斜率为的直线与抛物线交于两点，则____________． 【答案】 【分析】根据斜率及焦点坐标，求得直线方程，联立直线与抛物线方程，结合抛物线的定义即可求得． 【解析】抛物线的焦点的坐标为，斜率为且过焦点的直线方程为 ， 联立抛物线方程，得，化简得， 设两个交点坐标分别为，∴，则， ， ∴． 【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线定义的综合应用，用两个交点表示弦长，属于难题． 3．（内蒙古赤峰高三月考（文））过双曲线的右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为交另一条渐近线于点，若，，求的离心率的取值范围为___________ 【答案】 【分析】由题意得右焦点，设一条渐近线的方程为，则另一条渐近线方程为，由垂直可得直线FA的方程，分别与渐近线联立得到A，B的横坐标，由向量共线的坐标表示，结合，即可求出离心率的取值范围． 【解析】设右焦点，设一条渐近线的方程为，另一条渐近线的方程为， 由，可得的方程为：， 联立方程，即， 联立方程，即， 又，，解得：， 又，，即，解得：，即． 【名师点睛】方法点睛：本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解． 4．（山东烟台高三一模）已知点为直线上一点，且位于第一象限，点，以为直径的圆与交于点(异于)，若，则点的横坐标的取值范围为___________． 【答案】 【分析】 根据题意求出圆的方程，进而求出点坐标，根据圆的几何性质，结合锐角三角函数定义及性质进行求解即可． 【解析】由题意设，设的中点为，由中点坐标公式可得：， ∴以为直径的圆的方程为：，把代入得：，∴，∵是直径，∴，因此，∵， ∴， 即，化简得：，而，解得． 【名师点睛】关键点睛：利用直径所对的圆周角为直角这一性质是解题的关键． 5．（2021中学生标准学术能力3月测试）已知双曲线的焦点为，是双曲线上一点，且．若的外接圆和内切圆的半径分别为，且，则双曲线的离心率为__________． 【答案】． 【分析】中，利用正弦定理：，求得，，设，再利用余弦定理求得，然后由求解． 【解析】双曲线的焦点为， 在中，由正弦定理得：，解得，， 设，在中，由余弦定理得：， 解得，∴， ∵ ， 又，∴，则 ，∴ ， 整理得，则 ，解得或（舍去）． 【名师点睛】关键点点睛：本题的关键在于结合正余定理以及化简求解． 6．（山东日照高三一模）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，为双曲线的右顶点，过的直线与双曲线的右支交于，，两点（其中点在第一象限），设，分别为，的内心，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据圆的切线长定理和双曲线的定义可推得，的内切圆与轴切于双曲线的右顶点，设直线的倾斜角为，可用表示，根据两点都在右支上得到的范围，利用的范围可求得的取值范围． 【解析】如图： 设的内切圆与分别切于， ∴， ∴， 又，∴， 又，∴与重合，∴的横坐标为，同理可得的横坐标也为， 设直线的倾斜角为．则，， ， 当时，， 当时，由题知，．．． ∵两点在双曲线的右支上，∴，且，∴或， ∴．且，， 综上所述，．． 【名师点睛】关键点点睛：根据圆的切线长定理和双曲线的定义推出，的内切圆与轴同时切于双曲线的右顶点，并将用直线的倾斜角表示出来是解题关键． 7．（辽宁沈阳高三一模）已知抛物线，点，过作抛物线的两条切线，其中为切点，直线与轴交于点则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】 先用导数求出切线的方程，分析得直线的方程为，求出，表示出，用“设而不求法”表示出，从而求出的范围． 【解析】 设切点，由抛物线， ∴切线， 同理切线， 又点是两条切线的交点，∴． ∴直线的方程为，即． 此直线恒过，则． ，消去，得， ∴， ∴． ，即， 令，则， 即，解得， ， 即． 故答案为：．