第14讲 导数解答压轴题（解析版）.docxVIP

导数解答压轴题 1．（山东临沂模拟）已知函数 （1）求函数的极值； （2）①当时，恒成立，求正整数的最大值 ②证明： 【答案】（1）答案见解析；（2）①3，②证明见解析. 【分析】 （1）求导后，分和讨论即可； （2）①转化为寻求，需要找隐零点的范围 ②将所证结论两边取对数，再运用①的结论即可. 【解析】 （1）定义域 当时，，所以函数在上单调递增，无极值 当时，，得得 所以函数在上单调递减，在上单调递增 此时函数的极小值无极大值 综上，当时，函数无极值;当时， 函数的极小值为，无极大值. （2）当时，恒成立，即只需成立即可 由（1）可知 当时，函数在上单调递减，在上单调递增 （i）若，即时，在上单调递增，所以满足题意 （ii）若，即，函数在上单调递减，在上单调递增 所以 令 所以在上单调递增 又知 所以使得， 则的解集为 综上的取值范围为， 所以正整数的最大值为 ②证明：两边取对数得 即只需证 由（i）知 令，则 所以 所以 【点睛】关键点点睛：本题证明的关键在于先取对数得到，再利用前面的结论得出一个不等式，然后累加. 2．（江苏徐州二模）已知函数，为的导数. （1）设函数，求的单调区间； （2）若有两个极值点， ①求实数a的取值范围； ②证明：当时，. 【答案】（1）答案见解析；（2）①；②证明见解析. 【分析】 （1）首项求，并且得到函数的解析式，并求，讨论和求函数的单调区间；（2）①有两个极值点，所以有两个零点，根据（1）的单调性，可知，并求出函数的极小值，讨论，并结合零点存在性定理求的取值范围；②首先判断，并根据是的两个零点，并转化和，构造函数，利用导数判断函数的单调性，证明不等式. 【解析】 （1）依题意，的定义域为，且， 则. ①当时，在上恒成立，单调递减； ②当时，令得，， 所以，当时，，递减； 当时，，递增. 综上，当时，的减区间为，无增区间； 当时，的减区间为，增区间为. （2）①因为有两个极值点，所以有两个零点.由（1）知，时不合； 当时，. （i）当时，，没有零点，不合； （ii）当时，，有一个零点，不合； (ⅲ)当时，. ， 设，，则. 所以，即. 所以存在，使得. 又因为，所以存在，使得. 的值变化情况如下表： x + 0 - 0 + 极大值 极小值 所以当时，有两个极值点. 综上，a的取值范围是. ②因为，， 所以. 因为是的两个零点， 所以，. 所以，. 记，则， 所以在上单调递增. 又因为，所以，即. 【点睛】 方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 3．（广东汕头一模）已知函数有两个相异零点． （1）求a的取值范围． （2）求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）求出导函数，由确定单调性，然后结合零点存在定理求出参数范围； （2）由（1）不妨设，首先把多个变量，的不等式变形为，构造函数，确定单调性后证得，这样利用在是递增，要证原不等式只要证，即证，构造函数，利用导数证明此不等式成立． 【解析】 （1） 当时，单调递减； 当时，单调递增； 由得， 当时，， 所以使得f使得， 综上： （2）由（1）可知，， 要证 即证 构造函数，则 所以在单调递减，． 故有 因为在上单调递增， 所以只需证 即证 构造函数， 下面证在时恒成立 即证 构造函数 在时恒成立 因此在上单调递增，从而， 在时恒成立 在时单调递增 成立，即 成立． 【点睛】 关键点点睛：本题考查用导数研究函数的零点，考查用导数证明与零点有关的不等式，证明的关键是问题的转化，一是三变量转化为双变量，其次双变量转化为单变量，从而再引入新函数，由新函数的导数研究函数性质证明结论成立．本题证明难度较大，回属于困难题． 4．（湖北七市三月联考）已知函数，其中为自然对数的底数． （1）求的单调区间； （2）若对恒成立，记，证明：． 【答案】（1）函数的增区间为、；（2）证明见解析． 【分析】 （1）求得，证明出对任意的恒成立，由此可得出结果； （2）由题意可知不等式对任意的恒成立，令，将所证不等式等价转化为，利用导数证明即可. 【解析】 （1）函数的定义域为，且. 令，则. 当时，，此时函数单调递减； 当时，，此时函数单调递增. 所以，当时，，则. 综上所述，函数的增区间为、； （2）由题意得不等式对任意的恒成立， 令，要证，即证. . 令，其中，则，， 所以在上单调递增， 又，，故，使得， 即. 所以，当时，有，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 所以且， ，， 所以存在，使得，即，