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[研究生入学考试题库]考研数学二模拟476 一、选择题问题:1. 要使α1=(2，1，1)T，α2=(1，-2，-1)T都是齐次线性方程组Ax=0的解，只要系数矩阵A为______ A．  B．  C．  D． 答案:B[解析] 因为α1、α2线性无关，所以Ax=0至少有两个线性无关的解，故 n-r(A)≥2 即r(A)≤3-2=1  因此排除A、C  对于B和D，因为α2不是方程组D的解，因此排除D．故应选B． 问题:2. 若函数f(x)满足关系式xf(x)+2x[f(x)]2=1-ex，且f(0)=0，f(x)在x=0处连续，则______A.(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点．B.f(0)是f(x)的极小值．C.f(0)不是f(x)的极值，(0，f(0))也不是y=f(x)的拐点．D.f(0)是f(x)的极大值．答案:D[解析] 由f(0)=0知x=0是f(x)的驻点．为求f(0)，把方程改写为  令x→0，得．故f(0)为f(x)的极大值，问题:3. 设函数，其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有______ A．  B．  C．  D． 答案:B问题:4. 设f(x)具有二阶连续导数，且，则______．A.x=1为f(x)的极大点B.x=1为f(x)的极小点C.(1，f(1))为y=f(x)的拐点D.x=1不是f(x)的极值点，(1，f(1))也不是y=f(x)的拐点答案:C[解析] 由及f(x)二阶连续可导得f(1)=0； 因为，所以由极限保号性，存在δ＞0，当0＜|x-1|＜δ时，，从而 故(1，f(1))是曲线y=f(x)的拐点，应选C． 问题:5. 设无穷长直线L的线密度为1，引力常数为k，则L对距直线为a的单位质点P沿y轴方向的引力为______． A． B． C． D． 答案:A[解析] 先写出所求的引力微元dFy，然后再按反常定积分的计算公式求之． 取L为x轴，y轴过P点，如图所示. 在L上任取一小段[x，x+dx]，它对点P的引力沿y轴方向分量为    其中，所以  于是L对质点P沿y轴方向的引力   仅(A)入选． 问题:6. 下列命题中， (1)如果矩阵AB=E，则A可逆且A-1=B．  (2)如果n阶矩阵A，B满足(AB)2=E，则(BA)2=E．  (3)如果矩阵A，B均为n阶不可逆矩阵，则A+B必不可逆．  (4)如果矩阵A，B均为n阶不可逆矩阵，则AB必不可逆．  正确的是______ A.(1)(2)．B.(1)(4)．C.(2)(3)．D.(2)(4)．答案:D[解析] 如果A、B均为n阶矩阵，命题(1)当然正确，但是题中没有n阶矩阵这一条件，故(1)不正确．例如 ，显然A不可逆． 若A、B为n阶矩阵，(AB)2=E，即(AB)(AB)=E，则可知A、B均可逆，于是ABA=B-1，从而BABA=E．即(BA)2=E．因此(2)正确．  若设，显然A、B都不可逆，但可逆，可知(3)不正确． 由于A、B均为n阶不可逆矩阵，知|A|=|B|=0，且结合行列式乘法公式，有|AB|=|A||B|=0，故AB必不可逆．(4)正确．  所以应选D． 问题:7. 设{an}与{bn}为两个数列，下列说法正确的是______． A．若{an}与{bn}都发散，则{anbn}一定发散  B．若{an}与{bn}都无界，则{anbn}一定无界  C．若{an}无界且，则 D．若an为无穷大，且，则bn一定是无穷小答案:D[解析] A不对，如an=2+(-1)n，bn=2-(-1)n，显然{an}与{bn}都发散，但anbn=3，显然{anbn}收敛；B、C都不对，如an=n[1+(-1)n]，bn=n[1-(-1)n]，显然{an}与{bn}都无界，但anbn=0，显然{anbn}有界且正确答案为D．问题:8. 设f(x)=ax3-6ax2+b在区间[-1，2]上的最大值是3，最小值是-29，且a＞0，则______A.a=2，b=-29．B.a=3，b=2．C.a=2，b=3．D.以上都不对．答案:C[解析] 令f(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4)=0得x1=0，x2=4(不合题意舍去) f(0)=b，f(-1)=-7a+b，f(2)=-16a+