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[研究生入学考试题库]考研数学二分类模拟245 解答题设二元函数1. 求fx(0，0)，fy(0，0)；答案:解： 同理fy(0，0)=0．[考点] 多元函数微分学 2. 证明：fx(x，y)，fy(x，y)在(0，0)不连续；答案:解：当x2+y2≠0时  不存在，所以fx(x，y)在(0，0)处不连续．  同理可证fy(x，y)在(0，0)处不连续．[考点] 多元函数微分学 3. 证明：f(x，y)在(0，0)处可微．答案:解：即证  其中Δf=f(x，y)-f(0，0)=f(x，y)，，则  故f(x，y)在(0，0)处可微．  注 此例说明，偏导数连续是可微的充分条件但非必要条件．[考点] 多元函数微分学 问题:4. 设n阶矩阵A满足A2+A=3E，求(A-3E)-1．答案:解：A2+A-3E=0，即(A-3E)(A+4E)=-9E，亦即  则 [考点] 矩阵问题:5. 设，其中m为正整数，试证：．答案:解：由于  所以 [考点] 一元函数微积分设A，B为n阶矩阵，且A+B=AB，求证：6. (A-E)-1=B-E；答案:证明：由A+B=AB可得 E=AB-A-B+E=A(B-E)-(B-E)=(A-E)(B-E)  故A-E可逆，且  (A-E)-1=B-E[考点] 特征值、特征向量及二次型 7. AB=BA；答案:证明：由第一小题的结论有 (B-E)(A-E)=E  于是  BA-B-A+E=E  即BA=B+A，从而AB=BA．[考点] 特征值、特征向量及二次型 8. r(A)=r(B)；答案:证明：由A+B=AB，得 A(E-B)=-B ①  再由第一小题的结论知  A=(A-E)B ②  从而由①知r(B)≤r(A)，再由②知r(A)≤r(B)．故r(A)=r(B)．[考点] 特征值、特征向量及二次型 9. A，B具有公共的特征向量；答案:证明：设Bα=λα(α≠0)，则 Aα+Bα-ABα=0  故  Aα+λα-λAα=0  即  (1-λ)Aα=-λα  若λ=1，则由Aα+α-Aα=0，得α=0，与假设矛盾．  于是λ≠1，从而，即α为A的特征向量． 又由第二小题知BA=A+B，同理可得A的特征向量也是B的特征向量，故结论得证．[考点] 特征值、特征向量及二次型 10. A相似于对角阵当且仅当B相似于对角阵．答案:证明：必要性．由A相似于对角阵，故存在可逆矩阵T使得 T-1AT=diag{λ1，λ2，…，λn}  即  AT=Tdiag{λ1，λ2，…，λn}  将T按列分块为T=(α1，α2，…，αn)，则Aαi=λiαi，i=1，2，…，n．即αi(i=1，2，…，n)是A的特征向量．  由第四小题知αi也是B的特征向量．设Bαi=μiαi(i=1，2，…，n)，则  T-1BT=diag{μ1，μ2，…，μn}  同理可证充分性．[考点] 特征值、特征向量及二次型 问题:11. 设f(x)在(0，+∞)上可微，且f(x)单调递增，f(0)=0，证明：在(0，+∞)内单调递增．答案:证明：对x∈(0，+∞)，由拉格朗日中值定理，得，即，其中0＜ξ＜x，则  由于f(x)在(0，+∞)内单调递增，则g(x)＞0，故g(x)在(0，+∞)内单调递增．[考点] 连续、导数、微分(Ⅱ)问题:12. 证明：向量组α1，α2，…，αs中任一向量αi可以由这个向量组线性表出．答案:证明：由于αi=0α1+…+0αi-1+1αi+0αi+1+…+0αs，因此，向量组α1，α2，…，αs中任一向量αi可以由这个向量组线性表出．[考点] 向量问题:13. 设函数f(x)于[a，+∞)中二阶可微，并且满足： (1)f(a)=A＞0；  (2)f(a)＜0；  (3)当x＞a时，f(x)≤0  证明：在区间(a，+∞)内方程f(x)=0有且只有一个实根． 答案:证明：显然f(x)在[a，+∞)上是递减的，于是，当a≤x＜+∞时，f(x)≤f(a)＜0．又知函数f(x)在[a，+∞)上是递减的，因此，在(a，+∞)上至多有一点使f(x)=0，即在(a，+∞)上方程f(x)=0至多有一个根． 下面证明必有点a