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[研究生入学考试题库]考研数学二模拟475 一、选择题问题:1. 设矩阵A的伴随矩阵，且ABA-1=BA-1+3E，其中E为四阶单位矩阵，则矩阵B为______ A． B． C． D． 答案:A[解析] 思路一：因|A*|=|A|n-1，由|A*|=|A|n-1=|A|3=8，得|A|=2． 又(A-E)BA-1=3E，有(A-E)B=3A，从而A-1(A-E)B=3E，由此得  (E-A-1)B=3E，即，亦即(2E-A*)B=6E 又(2E-A*)为可逆矩阵，于是   思路二：同思路一，得|A|=2．  又由AA*=|A|E，对ABA-1=BA-1+3E先右乘A，再左乘A*，得  A*AB=A*B+3A*A，|A|B=A*B+3|A|E  即  (2E-A*)B=6E  于是  问题:2. 下列矩阵为正定的是______ A．  B．  C．  D． 答案:D问题:3. 设f(x)在[0，1]上连续，f(x)≥0．记  则______． A.I1＜I2＜I3B.I3＜I1＜I2C.I2＜I3＜I1D.I1＜I3＜I2答案:B[解析] 三个积分I1，I2，I3的积分区间不一样，且被积函数的中间变量不一样，需通过变量代换化成一样来比较． 在I1中，令x=sint，当x=0时，t=0；当x=1时，．且dx=costdt． 因此   在I1中，令x=tant，当x=0时，t=0；当x=1时，，且dx=sec2tdt， 当时，sect＞1，从而有sec2t＞1．因此  于是有I3＜I1＜I2. 仅B入选. 问题:4. 设α1，α2，α3，α4是4个4维非零列向量，A=(α1,α2，α3，α4)．且AX=0的通解为k为任意常数，则以下5个向量组， ①α1，α2，α3； ②α1+α2，α2+α3，α3+α1； ③α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1；  ④α2，α3，α4； ⑤α1，α2，α4，  可作为A*X=0的基础解系的向量组的个数为______ A.1．B.2．C.3．D.4．答案:B[解析] 首先，由AX=0的通解结构，知r(A)=3，故r(A*)=1，于是A*X=0的基础解系中有3个向量，排除③； 又由A*A=|A|E=0，知α1，α2，α3，α4均为A*X=0的解，且α1+α3=0，于是α1，α2，α3线性相关，排除①；再看②， 故r(α1+α2，α2+α3，α3+α1)≤r(α1，α2，α3)＜3，排除②;  最后看④、⑤，由于r(A)=3，故α1，α2，α3，α4中存在3个线性无关的向量，又α1+α2=0，即α1，α2，α3；α1，α3，α4均线性相关，而④α2，α3，α4与⑤α1，α2，α4必都线性无关，否则就不存在3个线性无关的向量了，故④、⑤均符合题意，答案选择B． 问题:5. 具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex的3阶常系数齐次线性微分方程是______A.y-y+y+y=0．B.y+y-y-y=0．C.y-6y+11y-6y=0．D.y-2y-y+2y=0．答案:B[解析] 解高阶常系数齐次线性微分方程，是通过解其特征方程确定微分方程的通解．本题是将此过程反过来使用：由给定的特解知特征方程的根为λ1=1，λ2=-1(2重)，故特征方程是(λ-1)(λ+1)2=0，展开得 λ3+λ2-λ-1=0．  从而，微分方程为y+y-y-y=0，即选项B正确． 问题:6. 设二次型的正负惯性指数分别为1，2，则______A.a＞1B.a＜-2C.-2＜a＜1D.a=1或a=-2答案:C[考点] 二次型正惯性指数[解析] 由题意已知，二次型f(x1，x2，x3)对应的矩阵为由  可得A的特征值为λ1=a+2，λ2=λ3=a-1．  又因为f(x1，x2，x3)的正负惯性指数为1，2，且正负惯性指数恰好等于特征值中正、负数的个数，所以a+2＞0且a-1＜0，即-2＜a＜1．故选C． 问题:7. 设，则矩阵A和B______A.合同且相似B.合同不相似C.相似不合同D.既不相似，也不合同答案:B[考点] 本题考查矩阵的相似与合同。两个实对称矩阵相似的充分必要条件是特征值相同；两个实对称矩阵合同的充分必要条件是正负特征值的个数相同。[解析] 因为 ， 所以A的特征值为0