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[研究生入学考试题库]考研数学二模拟481 一、选择题问题:1. 已知α=(1，-3，2)T，β=(0，1，-1)T，矩阵A=2βαT+7E，则矩阵A的最小特征值的特征向量是______A.α．B.β．C.α+β．D.α-β．答案:B[解析] B=βαT，则秩r(B)=1. 由αTβ=-5，知矩阵B的特征值是-5，0，0.  那么矩阵A=2B+7E的特征值是-3，7，7.  矩阵B关于λ=-5的特征向量就是矩阵A关于λ=-3的特征向量．  而Bβ=(βαT)β=β(αTβ)=-5β，  所以应选B． 问题:2. 设C1，C2是两个任意常数，则函数y=C1e2x+C2e-x-2xe-x满足的一个微分方程是______A.y+y2y=6e-x．B.y-y-2y=6e-x．C.y+y-2y=3xe-x．D.y-y-2y=3xe-x．答案:B[解析] 由题设知所求微分方程的特征根分别是λ1=2与λ2=-1，从而特征方程是(λ-2)(λ+1)=0，即λ2-λ-2=0．由此可见所求方程的形状是y-y-2y=f(x)． 记，则方程的右端项．由于，，故f(x)=2(2-x)e-x-2(x-1)e-x+4xe-x=6e-x，代人即得相应的微分方程是y-y-2y=6e-x．问题:3. 设f(x)可导，f(0)=0，f(0)=2，则当x→0时，F(x)是g(x)的______A.低阶无穷小．B.高阶无穷小．C.等价无穷小．D.同阶但非等价无穷小．答案:D[解析] 先改写  其中   因此，选D． 问题:4. 已知累次积分其中a＞0为常数，则I可写成______ A． B． C． D． 答案:C[解析]  (见图)   即 r2=x2+y2≤ax，  即选C．问题:5. 设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，且满足AB=E，则______A.A的列向量组线性无关，B的行向量组线性无关．B.A的列向量组线性无关，B的列向量组线性无关．C.A的行向量组线性无关，B的列向量组线性无关．D.A的行向量组线性无关，B的行向量组线性无关．答案:C[解析] 因为AB =E是m阶方阵，所以r(AB)=m．且有r(A)≥r(AB)=m，又因r(A)≤m，故r(A)=m． 于是根据矩阵的性质，A的行秩=r(A)=m，所以A的行向量组线性无关．  同理，B的列秩=r(B)=m，所以B的列向量组线性无关，所以应选C． 问题:6. 设平面区域，三个二重积分  的大小关系是______ A.M＞P＞N．B.M＞N＞P．C.N＞M＞P．D.N＞P＞M．答案:C[解析] 在区域上，，cos(x+y)≥0，而  又D关于x轴、y轴都对称，x3是x的奇函数，y3是y的奇函数，所以M=0．在D上，显然，所以P＜0．所以N＞M＞P．选C． 问题:7. 设A=(α1，α2，α3，α4)，其中αi是n维列向量(i=1，2，3，4)．已知齐次线性方程组Ax=0的基础解系为ξ1=(-2，0，1，0)T，ξ2=(1，0，0，1)T，则______A.α1，α2线性无关．B.α1，α3线性无关．C.α1，α4线性无关．D.α3，α4线性无关．答案:A[解析] 因为Ax=0的基础解系为ξ1=(-2，0，1，0)T，ξ2=(1，0，0，1)T，可知r(A)=2，则A有两个线性无关的列向量，将ξ1，ξ2代入得 -2α1+α3=0，α1+α4=0．  则，可知α1，α3；α1，α4；α3，α4线性相关，又r(A)=2，则α2与α1，α3，α4均线性无关． 问题:8. 设x=y-εsiny(0＜ε＜1为常数)，它的反函数是y=y(x)，则______ A． B． C． D． 答案:C[解析] 用反函数求导法先求出  再由复合函数求导法得   选C． 二、填空题问题:1. 设α=(1，-1，a)T是的伴随矩阵A*的特征向量，其中r(A*)=3，则a=______．答案:-1[解析] α是A*的特征向量，设对应的特征值为λ0，则有A*α=λ0α．两边左乘A，得AA*α=λ0Aα=|A|α．即  得   因r(A*)=3，|A*|≠0，故λ0≠0，由(1)(2)式解得a=-1，(λ0=-5) 问题:2. 设常数a＞0，双纽线(x2+y2)2=a2(x2-y2)围成的平面区域记