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[研究生入学考试题库]考研数学二分类模拟240 解答题问题:1. 设 在点x=0处连续，求a，b的值． 答案:解：  因为f(x)在点x=0处连续，所以f(0+0)=f(0)=f(0-0)，故a=1，b=-1．[考点] 函数、极限问题:2. 答案:解：  令u=x5+1，先计算上面式子的第二项  代入上式，得到 [考点] 一元函数微积分问题:3. 设y=f(x)为[a，b]上单调递增的连续曲线(下图)．试证：存在ξ∈(a，b)，使图中两阴影部分面积相等． 答案:证明：按题意，点ξ需满足  引入辅助函数  易知F(t)在[a，b]上连续，且因y=f(x)单调递增，所以有  故由零点定理，，使得  结论得证．[考点] 一元函数微积分问题:4. 求极限．答案:解：记  易见数列{an}是递增的，且  因此，由单调有界定理知数列{an}收敛．设． 因为  所以．任意给定的正整数m，当n＞m，有  在上面的不等式中令n→∞，得  因此，由极限的保不等式性得到e≥a，故a=e．[考点] 极限、连续及其应用问题:5. ．答案:解： 于是 [考点] 不定积分、定积分、反常积分问题:6. 证明：任意n+1个n维向量都线性相关．答案:证明：任取n+1个向量：α1，α2，…，αn+1． 考虑齐次线性方程组x1α1+x2α2+…+xn+1αn+1=0，它的方程个数n小于未知量个数n+1，因此它有非零解．从而α1，α2，…，αn+1线性相关．[考点] 向量问题:7. 判断积分是否有意义．答案:解：  故该积分有意义．[考点] 不定积分、定积分、反常积分问题:8. 设f(x)=a0+a1x+…+amxm，证明：如果λ0是n阶矩阵A的一个特征值，且α是A的属于λ0的特征向量，那么f(λ0)是矩阵f(A)的一个特征值，α是f(A)的属于f(λ0)的一个特征向量．答案:证明：由已知条件得，Aα=λ0α．于是  因此f(λ0)是f(A)的一个特征值，α是f(A)的属于f(λ0)的一个特征向量． 注 本例的结论请读者记住并灵活运用．[考点] 特征值与特征向量设，求：9. f(x)的定义域；答案:解：则f(x)的定义域为(-∞，+∞)．[考点] 函数、极限10. ；答案:解：因为  所以．[考点] 函数、极限11. ．答案:解：因为x=0为f(x)的分段点，所以分别考虑左、右极限  因此不存在．[考点] 函数、极限问题:12. 设f(x)连续，任意的x＞0，f(x)＞0，且对任意的x≥0，有．当x≥0时，求f(x)．答案:解：当x＞0时，f(x)＞0，所以，故  又因f(x)连续，所以可导，即f2(x)可导． 对两边求导，得 2f(x)f(x)=f(x)＞0 故，即．再由f(0)=0得c=0，所以．[考点] 一元函数微积分问题:13. 若A是n阶矩阵，且A2=A，证明 r(A-E)+r(A)=n 答案:证明：由A2=A，得A(A-E)=0，故r(A)+r(A-E)≤n． 又 r(A)+r(A-E)=r(A)+r(E-A)≥r(A+E-A)=r(E)=n 得证 r(A-E)+r(A)=n[考点] 矩阵、向量、方程组已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx，在正交变换x=Qy下的标准形为，且Q的第3列为．14. 求矩阵A；答案:解：因为二次型xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为，所以其系数1，1，0就是矩阵A的特征值，即  且矩阵Q的第3列就是属于特征值0的特征向量．  设(x1，x2，x3)T为A属于特征值1的特征向量，由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的，故有   即x1+x3=0，解得，ξ3=(0，1，0)T，即为属于特征值1的两个正交单位特征向量，以ξ2，ξ3分别为第1，2列(或第2，1列)得到  并有   从而得  [考点] 二次型15. 证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵．答案:证明：因A的特征值为1，1，0，所以A+E的特征值为2，2，1．又AT=A，则A+E为实对