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[研究生入学考试题库]考研数学二模拟435 一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．问题:1. 设f(x)在x=0的某邻域内连续，且当x-0时，f(x)与xm为同阶无穷小．又设当x→0时，与xk为同阶无穷小，其中m与n为正整数．则k=______A.mn+n．B.2n+m．C.m+n．D.mn+n-1．答案:A[解析] 当x→0时，f(x)与xm为同阶无穷小，从而知存在常数A≠0，当x→0时，f(x)～Axm，从而，f(xn)～Axnm．于是  由题意可知．上式为不等于零的常数，故k=nm+n． 问题:2. 设φ(x)在x=a的某邻域内有定义，f(x)=|x-a|φ(x)．则“φ(x)在x=a处连续”是“f(x)在x=a处可导”的______A.必要条件而非充分条件．B.充分条件而非必要条件．C.充分必要条件．D.既非充分又非必要条件．答案:D[解析] 下面举两个例子说明应选D． ①设φ(x)在x=0处连续，但f(x)=|x|φ(x)在x=0处不可导的例子如下：取φ(x)≡1，但f(x)=|x|在x=0处不可导．  ②设φ(x)在x=0的某邻域内有定义，但在x=0处不连续，而f(x)=|x|φ(x)在x=0处却可导的例子如下：设   φ(x)在x=0处不连续，但   所以f(x)在x=0处可导，f(0)=1． 问题:3. A.等于0．B.等于-1．C.等于1．D.不存在．答案:C[解析]  所以 问题:4. 设f(x)在x=0处存在二阶导数，且f(0)=0，f(0)=0，f(0)≠0．则 A．  B．  C．  D． 答案:C[解析] 先作积分变量代换，令x-t=u，则  由二阶导数定义，   所以 问题:5. 设常数则______ A．当0＜a＜1时，f(x)的最大值是 B．当0＜a＜1时，f(x)的最大值是f(0)．  C．当a≥1时，f(x)的最小值是 D．当a≥1时，f(x)的最小值是f(0)． 答案:C[解析] 由题设知f(x)=ax2-1，f(x)=2ax．当0＜a＜1时，为闭区间内部的唯一驻点，又因为极小值，也是最小值在两端点处，f(0)=0，若要求最大值，则要比较与0的大小，可见当时，为最大值；当故f(0)=0为最大值．故A，B都不正确．当a≥1时，驻点不在闭区间的内部，故在内f(x)单调减少，所以为最小值．问题:6. 设F(u，v)具有一阶连续偏导数，且z=z(x，y)由方程所确定．又设题中出现的分母不为零，则 A．0．  B．z．  C． D．1． 答案:B[解析] 由题意，得  故 问题:7. 设A是3阶矩阵，有特征值λ1=1，λ2=-1，λ3=0，对应的特征向量分别是ξ1，ξ2，ξ3，k1，k2是任意常数，则非齐次方程组Ax=ξ1+ξ2的通解是______A.k1ξ1+k2ξ2+ξ3．B.k1ξ1+k2ξ3+ξ2．C.k1ξ3+ξ1-ξ2．D.k1ξ3+ξ1+ξ2．答案:C[解析] 由题设 Aξ1=ξ1，Aξ2=-ξ2，Aξ3=0，  知r(A)=2．因为Aξ3=0，所以ξ3是Ax=0的基础解系．  又因A(ξ1-ξ2)=ξ1+ξ2，  所以ξ1-ξ2是Ax=ξ1+ξ2的一个特解，故非齐次方程组Ax=ξ1+ξ2的通解为  k1ξ3+ξ1-ξ2． 问题:8. 设α=(1，2，3)T，β1=(0，1，1)T，β2=(-3，2，0)T，β3=(-2，1，1)T，β4(-3，0，1)T，记则下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是______A.A1．B.A2．C.A3．D.A4．答案:D[解析] 因故r(Ai)=1，i=1，2，3，4．故λ=0至少是3阶方阵Ai(i=1，2，3，4)的二重特征值．则Ai(i=1，2，3，4)的第3个特征值分别是  故知A4的特征值λ1=λ2=λ3=0，是三重特征值，但A4≠0，故A4不能相似于对角矩阵应选D． 二、填空题问题:1. 设y=y(x)是由所确定，则曲线y=y(x)在t=0对应的点处的曲率k=______．答案:[解析] 由于  将t=0代入得x=3，y=1，并且  所以曲率 问题:2. 设 答案:[解析] 一方面，因为 而 另一方面，  由夹逼定理， 问题:3.