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[研究生入学考试题库]考研数学二模拟439 一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．问题:1. 设f(u)为u的连续函数，并设f(0)=a＞0．又设平面区域σt={(x，y)||x|+|y|≤t，t≥0}，则Φ(t)在t=0处的右导数Φ+(0)=______A.a．B.2πa．C.πa．D.0．答案:D[解析] 令Dt={(x，y)|x2+y2≤t2}，于是由于f(u)连续且f(0)=a＞0，所以存在T＞0，当0＜t2＜T时，而当0≤x2+y2≤t2＜T时，此外，关于3块区域，显然有  所以当0＜t2＜T时，   而   此外显然有Φ(0)=0．于是有   令t→0+旷取极限，右边   左边亦有   由夹逼定理有   即Φ+(0)=0． 问题:2. 微分方程y-2y+y=ex的特解形式为______A.y*=Aex(A≠0)．B.y*=(A+Bx)ex(B≠0)．C.y*=(A+Bx+Cx2)ex(C≠0)．D.y*=(A+Bx+Cx2+Dx3)ex(D≠0)．答案:C[解析] 因为方程右边ex指数上的1是特征方程的二重特征根，故特解形式为y*=Ax2ex(A≠0)，即C中C≠0的形式．故应选C．问题:3. 设f(x)在x=a处可导，则|f(x)|在x=a处不可导的充分必要条件是______A.f(a)=0，f(a)=0．B.f(a)=0，f(a)≠0．C.f(a)≠0，f(a)=0．D.f(a)≠0，f(a)≠0．答案:B[解析] 若f(a)≠0，则存在x=a的某邻域U(a)，在该邻域内f(x)与f(a)同号．于是推知，当x∈U(a)时，若f(a)＞0，则|f(x)|=f(x)；若f(a)＜0，则|f(x)|=-f(x)．总之，若f(a)≠0，|f(x)|在x=a处总可导． 若从而知  其中x→a+时取“+”，x→a-时取“-”，所以f(a)=0时，|f(x)|在x=a处可导的充要条件为  |f(a)|=0，即f(a)=0．  所以当且仅当f(a)=0，f(a)≠0时，|f(x)|在x=a处不可导，选B． 问题:4. 在区间(-∞，+∞)内零点的个数为______A.0．B.1．C.2．D.无穷多．答案:C[解析] f(x)为偶函数，所以在区间内f(x)至少有1个零点．当x＞0时，  所以在区间(0，+∞)内f(x)至多有1个零点故在区间(0，+∞)内，(z)有且仅有1个零点，所以在区间(-∞，+∞)内f(x)有且仅有2个零点．选C． 问题:5. 设f(x)在x=x0的某邻域U内有定义，在x=x0的去心邻域内可导，则下述命题：  其中不正确的个数为______ A.1．B.2．C.3．D.4．答案:D[解析] 举例说明所述命题没有一个是正确的 ①的反例：设   则有 但   而 所以①不正确．  ②的反例：设   则当x≠0时，而f(x)在x=0处不连续，所以f(0)不存在．所以②不正确． ③的反例，可取与②同一反例，所以③不正确．  ④的反例，可取与①同一反例，所以④不正确．  所以选D． 问题:6. 设当x＞0时，f(x)连续且严格单调增加，则F(x)在x＞0时______A.没有驻点．B.有唯一驻点且为极大值点．C.有唯一驻点且为极小值点．D.有唯一驻点但不是极值点．答案:A[解析]   由于f(x)严格单调增加，可知当t∈(0，x)时，f(x)＞f(t)，故当x＞0时，也即F(x)在x＞0时没有驻点．故应选A．问题:7. 设A，B均是4阶方阵，且r(A)=3，A*，B*是矩阵A，B的伴随矩阵，则矩阵方程A*X=B*一定有解的充要条件是______A.r(B)≤1．B.r(B)≤2．C.r(B)≤3．D.r(B)≤4．答案:B[解析] 由题设条件知，r(A)=3，则r(A*)=1．  而当r(B*)=1时，有可能使 如 则无解． 故r(B*)=0，此时r(B)≤2，有   故应选B． 问题:8. 设则存在初等矩阵______ A.P1P2A．B.P2P1A．C.AP1P2．D.AP2P1．答案:A[解析] B是上三角形矩阵，应作初等行变换将A中下三角元素a21=-1，a32=2消为0，  故应选A