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[研究生入学考试题库]考研数学二分类模拟题188 解答题问题:1. 设向量组  证明：向量组α1，α2，…，αs线性相关(线性无关)的充要条件是齐次线性方程组   有非零解(唯一零解)． 答案:证：α1，α2，…，αs(线性无关)线性相关 (不)存在不全为0的x1，x2，…，xs，使得x1α1+x2α2+…+xsαs=0成立 (不)存在不全为0的x1，x2，…，xs，使得成立 齐次线性方程组  有非零解(唯一零解)． 问题:2. 已知α1，α2，…，αs线性无关，β可由α1，α2，…，αs线性表出，且表出式的系数全不为零，证明：α1，α2，…，αs，β中任意s个向量线性无关．答案:证：用反证法．设α1，α2，…，αs，β中存在s个向量α1，α2，…，αi-1，αi+1，…，αs，β线性相关，则存在不全为零的常数k1，k2，…，ki-1，ki+1，…，ks，k使得 k1α1+…+ki-1αi-1+ki+1αi+1+…+ksαs+kβ=0． ①  另一方面，由题设  β=l1α1+l2α2+…+liαi+…+lsαs，  其中li≠0，i=1，2，…，s．代入①式，得  (k1+kl1)α1+(k2+kl2)α2+…+(ki-1+kli-1)αi-1+kliαi+(ki+1+kli+1)αi+1+…+(ks+kls)αs=0，因已知α1，α2，…，αs线性无关，从而有kli=0，li≠0，故k=0，从而由①式得k1，k2，…，ki-1，ki+1，…，ks均为0，矛盾．  故α1，α2，…，αs，β中任意s个向量线性无关． 问题:3. 已知A是n阶矩阵，α1，α2，…，αs是n维线性无关向量组，若Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关，证明：A不可逆．答案:证：因Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关，故存在不全为零的数k1，k2，…，ks，使得 k1Aα1+k2Aα2+…+ksAαs=0，  即  A(k1α1+k2α2+…+ksαs)=Aξ=0，其中ξ=k1α1+k2α2+…+ksαs，因已知α1，α2，…，αs线性无关，对任意不全为零的数岛，k1，k2，…，ks，有  ξ=k1α1+k2α2+…-+ksαs≠0，  而  Aξ=0．  说明线性方程组AX=0有非零解，从而|A|=0，即A是不可逆矩阵． 设n阶矩阵A的秩为1，试证：4. A可以表示成n×1矩阵和1×n矩阵的乘积；答案:证：将A以列分块，则r(A)=r([α1，α2，…，αn])=1表明列向量组α1，α2，…，αn的极大线性无关组由一个非零向量组成，设为αi=[a1，a2，…，an]T(αi≠0)，其余列向量均可由αi线性表出，设为αj=bjαi(j=1，2，…，n，j=i时，取bi=1)，则 5. 存在常数μ，使得Ak=μk-1A．答案:证：记α=αi=[a1，a2，…，an]T，β=[b1，b2，…，bn]T，则 A=αβT，Ak=(αβT)k=(αβT)(αβT)…(αβT)=α(βT)(βTα)...(βTα)βT．  记βTα=a1b1+a2b2+…+anbn=μ，则  Ak=αμk-1βT=μk-1A 问题:6. 设A是n×n矩阵，对任何n维列向量X都有AX=0，证明：A=O．答案:证：方法一 由于对任何X均有AX=0，取X=[1，0，…，0]T，由  得a11=a21=…=an1=0．  类似地，分别取X为e1=[1，0，…，0]T，e2=[0，1，0，…，0]T，…，en=[0，0，…，1]T代入方程，可证每个aij=0，故A=O．  方法二 因对任何X均有AX=0，故有Aei=0，i=1，2，…，n，合并成分块阵，得  [Ae1，Ae2，…，Aen]=A[e1，e2，…，en]=AE=A=O．  方法三 因对任何X均有AX=0，故方程基础解系向量个数为n，  又r(A)+n(基础解系向量个数)=n(未知量个数)，故有r(A)=0，即A=O． 问题:7. 设线性方程组  λ为何值时，方程组有解，有解时，求出所有的解． 答案:解：方程组是齐次线性方程组  因 当λ≠-2且λ≠2时，方程组有唯一零解；  当λ=2时，方程组有无穷多解，其解为  k1[1，-1，0，0]T+k2[1，0，-1，0]T+k3[1，0，0，-1]T，k1，k2，k3为任意常数；  当λ=-2时，方