大学数学微积分课件：第04讲 第四节、无穷小与无穷大 第五节、极限运算法则.pptVIP

* * * * * * 苏州大学数学科学学院大学数学部 * * * 第四讲 内容 第四节、无穷小与无穷大 第五节、极限运算法则 * * 第四节、无穷小与无穷大 * * 一、无穷小 1.定义:极限为零的变量称为无穷小. 由此定义可知无穷小和过程有关．比如： * * 例如, 注： 1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 2.零是可以作为无穷小的唯一的数. * * 2.无穷小与函数极限的关系: 证 必要性 充分性 * * 定理1在应用中的意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); * * 3.无穷小的运算法则： 定理 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 仅就如下情形证明： * * 注意　无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. * * 定理 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证 * * 推论3 在同一过程中,有极限的变量与无穷小 的乘积是无穷小. 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 都是无穷小 * * 二、无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大. * * 特殊情形：正无穷大，负无穷大． 注： 1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆; 3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大. * * 不是无穷大． 无界， * * 证 * * 三、无穷小与无穷大的关系 定理2 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 定理的意义： 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论. * * 四、小结 1、主要内容: 定义; 定理; 推论. 2、几点注意: 无穷小与无穷大是相对于过程而言的. （1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混 淆，零是唯一可看作无穷小的常数； （2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小. （3） 无界变量未必是无穷大. * * 第五节、极限运算法则 * * 定理3 证 由无穷小运算法则,得 * * * * 推论1 常数因子可以提到极限记号外面. 推论2 定理4是关于数列极限的运算法则 定理5就是我们上次讲的保序性 * * 定理6的意义在于引入新变量，改变极限过程，以简化计算．一般称为换元法． * * 求极限方法举例 例1 解 * * 小结: * * 解 商的法则不能用 由无穷小与无穷大的关系,得 例2 * * 解 例3 (消去零因子法) * * 例4 解 (无穷小因子分出法) * * 小结: 无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限. * * 例5 解 先变形再求极限. * * 例6 解 * * 例7 解 左右极限存在且相等, * * 小结 1.极限的四则运算法则及其推论; 2.极限求法; a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限. 苏州大学数学科学学院大学数学部 * * * * * * *