大学数学微积分课件：第14讲 第四节、函数的单调性与曲线的凹凸性.pptVIP

* * 第五节、函数的极值与最大值最小值 课件制作：汪光先 徐聪敏 * * 一、函数极值的定义 * * 定义 函数的极大值与极小值统称为极值(局部最值）,使函数取得极值的点称为极值点. * * 二、函数极值的求法 定理1(必要条件) 定义 由费马引理知， 例如, * * 定理2(第一充分条件) (是极值点情形) * * 求极值的步骤: (不是极值点情形) * * 例1 解 列表讨论 极大值 极小值 * * 图形如下 * * 定理3(第二充分条件) 证 * * 例2 解 图形如下 * * 注意: * * 例3 解 注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点. * * 三、小结 极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值. 驻点和不可导点统称为临界点. 函数的极值必在临界点取得. 判别法 第一充分条件; 第二充分条件; (注意使用条件) * * * * * * 苏州大学数学科学学院大学数学部 * * * 第十四讲 内容 第四节、函数的单调性与曲线的凹凸性 第五节、函数极值和最值 * * 第四节、函数单调性与曲线的凹凸性 * * 一、单调性的判别法 定理 * * 证 应用拉氏定理,得 * * 例1 解 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性． * * 二、单调区间求法 问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调． 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点． 方法: * * 例2 解 单调区间为 * * 例3 解 单调区间为 * * 例4 证 注:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性. 例如, * * 这种方法的关键在于函数的最值为零，即使在整个区间上函数并不单调，问题也可能解决。如下例 * * * * 三、小结 单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用. 定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立. 应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式. * * 四、曲线凹凸的定义 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 * * 定义 * * 五、曲线凹凸的判定 定理1 * * 例1 解 注意到, * * 六、曲线的拐点及其求法 1.定义 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 2.拐点的求法 证 * * 方法1: * * 例2 解 凹的 凸的 凹的 拐点 拐点 * * * * 方法2: 例3 解 * * 注意: * * 例4 解 * * 七、小结 曲线的弯曲方向——凹凸性; 改变弯曲方向的点——拐点; 凹凸性的判定. 拐点的求法1, 2. * * 思考题一 * * 思考题解答 例 * * 思考题二 * * 思考题解答 不能断定. 例 但 * * 当 时， 当 时， 注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内， 都不单调递增． * * 利用泰勒公式求极限 思考题三 * * 思考题解答 苏州大学数学科学学院大学数学部 * * * * * * *