大学数学微积分课件：第06讲 第八节、函数的连续性与间断点第九节、连续函数的运算与初等函数的连续性第十节、闭区间上连续函数的性质.pptVIP

* * 注1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域(可能是不止一个区间组成)内不一定连续; 如 在0点的去心邻域内没有定义. 　 注2. 连续函数求极限的方法——代入法. * * 例3 例4 解 解 * * 反函数、复合函数的连续性. 四、小结 连续函数的和差积商的连续性. 初等函数的连续性.在定义域内(不含端点)每一点连续，在定义区间上(可以闭区间)连续． 注意：1．定义区间与定义域的区别; 2．求极限的又一种方法. 意义：lim与 f 交换 * * 第十节、闭区间上连续函数的性质 课件制作：汪光先 徐聪敏 * * 一、最大值和最小值定理 定义: 如 如 * * 定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数在此区间上有界且一定有最大值和最小值．即： * * 注:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立. * * 二、介值定理 定义: * * 几何上看: 代数上看: * * 证明大意： 它在区间端点上异号，再利用零点定理． * * 几何上看: M B C A m a b 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值. * * 例1 证 由零点定理, * * 例2 证 由零点定理, 请仔细体会这儿构造辅助函数的方法 * * 三、小结 四个定理 有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理. 关键词　1．闭区间； 2．连续函数． 这两点不满足上述定理不一定成立． 解题思路 1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理; 2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理; * * 下述命题是否正确？ 思考题 * * 思考题解答 不正确. 例函数 * * 思考题 * * 思考题解答 是它的可去间断点 * * 思考题 * * 思考题解答 且 * * 但反之不成立. 例 但 * * * * * * * * * * * * * * * * 苏州大学数学科学学院大学数学部 * * * 第六讲 内容 第八节、函数的连续性与间断点 第九节、连续函数的运算与初等函数的连续性 第十节、闭区间上连续函数的性质 * * 第八节、函数的连续性与间断点 * * 一、函数的连续性 1.函数的增量 * * 2.连续的定义 * * * * 上述三种定义是等价的，我们在应用中根据方便采用． * * 例1 证 由定义2知 * * 3.单侧连续 连续与左右连续的关系 * * 例2 解 右连续但不左连续 , * * 4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如, * * 例3 证 * * 二、函数的间断点 * * 1.跳跃间断点 例4 解 * * 2.可去间断点 例5 * * 解 注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点. * * 如例5中, 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 * * 3.第二类间断点 例6 解 * * 例7 解 注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点. * * 狄利克雷函数 在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点. 仅在x=0处连续, 其余各点处处间断. ★ ★ * * 在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处处连续. ★ 判断下列间断点类型: * * 例8 解 * * 三、小结 1.函数在一点连续必须满足的三个条件; 3.间断点的分类与判别; 2.区间上的连续函数; 第一类间断点:可去型,跳跃型. 第二类间断点:无穷型,振荡型. 间断点 (见下图) * * 可去型 第一类间断点 o y x 跳跃型 无穷型 振荡型 除第一类以外都 是第二类间断点 o y x o y x o y x * * 第九节、连续函数的运算与初等函数的连续性 * * 一、四则运算的连续性 定理1 例如, * * 二、反函数与复合函数的连续性 定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. 例如, 反三角函数在其定义域内每一点处连续. 进而：连续函数的反函数(如果存在)在定义域内每一点处连续． * * 定理3 注： 极限符号可以与连续函数符号互换; 例1 解 * * 例2 解 同理可得 * * 定理4 例如, 简而言之，连续函数的复合仍为连续函数．而定理4是定理3的特殊情况.(里面也是连续函数) * * 三、初等函数的连续性 三角函数及反三角函数在它们的定义域内每一点是连续的. ★ ★ ★ * * 定理5 基本初等函数在定义域内每一点是连续的. ★ (均在其定义域内每一点连续 ) 定理6 一切初等函数在其定义区间上都是连续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间. 苏