小奥数论1-整除和余数知识点总结及经典例题.pdfVIP

. 1. 数论 —— 数的整除和余数 2.1 基本概念和基本性质 2.1.1 定义 整数 a除以整数 b （b≠0 ），除得的商是整数而没有余数，我们就说 a能被 b 整除，或者说 b 能整除 a 。 2.1.2 表达式和读法 b ∣a ，读着 b能整除 a;或a能被 b整除； b a，不能整除； 2.1.3 基本性质 ① 传递性： 如果a|b,b|c, 那么a|c; 即b是a的倍数， c是 b 的倍数，则c肯定是 a的倍 数； ② 加减性：如果 a|b 、a|c ，那么 a|(b c); ③ 因数性：如果 ab|c ，那么 a|c ，b|c; 即如果 ab 的积能整除 c,则a或 b 皆能整除 c; ④ 互质性，如果 a|c ，b|c ，且（ a,b ）=1, 那么 ab|c, 即如果 a 能整除 c,b 能整除 c ， 且ab 互质，则 ab 的积能整除 c; ⑤ a个连续自然数中必恰有一个数能被 a整除。 . . 2.2 数的整除的判别法 2.2.1 末位判别法 整除数 特 征 好朋友 10 ， 1 个零，所以判断末 1 位； 2 和 5 2 ：末 1 位能被 2 整除；尾是 0 、2 、4 、6 、8 ； 5 ：末 1 位能被 5 整除；尾是 0 、5 ； 好朋友 100 ，2 个零，所以判断末 2 位； 4 和 25 4 或 25 ：末 2 位数是 4 （或25 ）的倍数 好朋友 1000 ， 3 个零，所以判断末 3 位； 8 和 125 8 或 125 ：末 3 位数是 8 （或 125 ）的倍数 好朋友 10000 ，4 个零，所以判断末 4 位； 16 和 625 16 或 625 ：末 4 位数是 16 （或625 ）的倍数 2.2.2 数字和判别法（用以判别能否被 3 或 9 整除） 各数位上数字的和是 3 或 9 的倍数，则能被 3 或 9 整除。 173652 ÷9:1+7+3+6+5+2 的和除以 3 或 9； 简便算法，利用整除的加减性，可以去掉 1 个或多个 9 ，剩下数字的和 x 再 除以 3 或 9 ；如果 x ﹥9,则余数为 x-9; 如果 x ﹤9,则余数为 x 。 2.2.3 奇偶数位判别法（用以判别能否被 11 整除） 从右往左编号， 编号为奇数的为奇数位， 编号为偶数的为偶数位， 看奇数位 . . 上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被 11 整除； ÷11: 奇数位和为 6 ，偶数位和为 27 ；如果奇数位和比偶数位和小， 则奇数位和加 1 个或多个 11 ，直到够减。 余数的判断法与整数位的判断法一致。 2.2.4 三位一截判别法（用以判别能否被 7/11/13 整除） 2.2.4.1 基本用法 从右往左三位一截并编号， 编号为奇数的为奇数段， 编号为偶数的为偶数段， 看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被 7 、11 、13 整除； 如 ，奇数段的和为（ 548+86 ），偶数段的和