八年级数学上册 课题学习 最短路径问题 教学设计.docxVIP

PAGE PAGE 2 八年级上册微型课18 课题学习 最短路径问题 13.4 课题学习 最短路径问题 一、内容和内容解析 1．内容 利用轴对称、平移变化研究某些最短路径问题． 2．内容解析 最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究． 本节课以“牧马人饮马问题”和“造桥选址问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称、平移等变化将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题． 基于以上分析，确定本节课的教学重点：利用轴对称、平移变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题． 二、目标和目标解析 1．目标 能利用轴对称、平移变化解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最短路径问题中的作用，感悟化归思想． 2．目标解析 达成目标的标志是：学生能将实际问题中的“地点”“河边”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；能利用轴对称、平移变化，将不共线的点、线转化到一条直线上，从而将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称、平移的“桥梁”作用，感悟化归思想． 三、教学问题诊断分析 最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中学生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手. 解答“当点A，B在直线l的同侧时，如何在l上找到点C，使AC与CB的和最小”，需要将其转化为“直线l异侧的两点，与l上的点的线段和最小”的问题，为什么需要这样转化、怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解上和操作上的困难． 在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求作的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路和方法，一些学生想不到． 教学时，教师可以让学生首先思考“直线l异侧的两点，与l上的点的线段和最小”，为学生搭建桥梁. 在证明“最短”时，教师要适时点拨学生，让学生体会“任意”的作用． 本节课的教学难点是：如何利用轴对称、平移变化将最短路径问题转化为线段和最小问题． 四、教学过程设计 回顾 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，同学们通过讨论下面两个问题：“牧马人饮马问题”和“造桥选址问题”，可以体会如何运用所学知识选择最短路径. 1．将实际问题抽象为数学问题 问题1 如图，牧马人从 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B 地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 图 图1 图2 你能将这个问题抽象为数学问题吗？ (1) 这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 师生活动：学生回答把A，B两地抽象为两个点，河边l近似地看成一条直线（图2）. (2) 你能说明这个问题的意思吗？ 师生活动：学生自主思考：①从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；②在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再到B地的路程之和； ③现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点.设C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小（图3）. 设计意图：让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”. 2．尝试解决数学问题 探究1 如图3，点A，B分别是直线l同侧的两个点，点C为直线l上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？ 图 图3 师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答． 教师可作如下提示: (1) 如图4，点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离和最短？ 图 图4 (2) 对于探究1，如何把点B移到l的另一侧B 处，满足对直线l上的任一点C，都保持CB与CB 的长度相等？ (3) 你能利用轴对称的有关知识，找到符合条件的点 B′ 吗？ 对于(1)，学生利用已经学过的知识，很容易解决这个问题. 即：连接AB，与直线l相交于一点，根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求；对于(2) (3)，学