（沪教版2020必修一）2021-2022学年高一数学重难点专题-第13讲 函数的对称性与周期性（含解析）.docxVIP

SSR-Studio SSR-Studio 10 - 第13讲 第13讲 函数的对称性与周期性 知识梳理与应用 主要考察一：函数的对称性 必要条件：具有对称性的函数，其定义域必然关于其对称轴或对称中心对称. 轴对称等价形式： 的图像关于直线对称 的图像关于直线对称 推广： 的图像关于直线对称； 中心对称等价形式： 的图像关于点对称 的图像关于点对称 推广：的图像关于点对称 进阶1：判断函数是否具有对称性/判断函数的对称轴/对称中心 （1）定义域法 定义域非 对应思路： 1. 定义域得横：求使得定义域对称的值，即为对称中心的横坐标； 2. 特值点得纵：若，对称中心纵坐标；若，取 且 ，则对称中心纵坐标； 3. 如需再检验：利用函数图像具有对称中心的等价形式进行检验. 特殊的，，其对称中心可直接记忆为. 【例1】（2020秋?杨浦区校级期中）★★☆☆☆ 函数的图像的对称中心是 　　 ． 【答案】 【解答】 定义域为，定义域关于对称中心对称， 故其对称中心横坐标必然为, 取关于-2对称的代入得 则对称中心的纵坐标为 用的图像关于点对称进行检验 故答案为 【例2】（2015秋?上海中学高一上期末改）★★★☆☆ 对于定义在上的函数，点是图像的一个对称中心的充要条件是：对任意都有，判断下列函数具有对称中心的有 . （1）； （2）； 【答案】（1）（2） 【解答】 解： （1） ，定义域有空点， ，使得定义域对称的，中间的是， 故若存在对称中心，其横坐标必为， 特值法取， 得，即对称中心纵坐标为， 利用中心对称等价形式检验是否为的对称中心： ， 故的图像存在对称中心. （2） ，定义域为，故若存在对称中心，其横坐标必为2， 特值法取得，即对称中心纵坐标为0， 利用中心对称等价形式检验是否为的对称中心： ， 故的图像存在对称中心. 【练习】（编者精选）★★★☆☆ 函数图象的对称中心横坐标为3，则　 　 ． 【答案】 【解答】 ，定义域为，符合形式一 故其对称中心横坐标为 ，解得； 故答案为：． 【练习】（2018秋?嘉定区高一上期末）★★★☆☆ 已知函数具有对称中心为，则点的坐标为　　 ． 【答案】 【解答】 对于函数， ，故对称中心横坐标为2， 又当时，；当时，； ，可得它的对称中心为， 故答案为：． （2）图像平移法 若所求函数可看做奇/偶函数平移变换得到 ，则对称中心/对称轴做相同的平移即可. 因此要能够快速分辨函数的奇偶性，并了解函数图像的平移变换. 【例3】（2015秋?上海中学高一上期末改）★★★★☆ 对于定义在上的函数，点是图像的一个对称中心的充要条件是：对任意都有，判断函数的对称中心 . 【答案】，. 【解答】 解： （1）是个三次函数， 考虑到和是奇函数，故可尝试配立方将平方项消掉， 即可看做由奇函数平移得到，待定系数法，设： 所以，解得 所以， 可看作由函数向左平移个单位，再向上平移个单位得到 故有对称中心，. 【练习】（编者精选）★★★☆☆ 函数，其图象的对称轴是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】 ，定义域为，不符合形式一， 但观察到分母为，可由偶函数原型向左平移个单位得到， 分子配方为，亦可由偶函数原型向左平移一个单位得到， 所以令，为偶函数， ，可由向左平移个单位得到， 所以的图象的对称轴为. 主要考察二：函数的周期性 一般地，对于函数，如果存在一个常数，使得当取定义域内的任意值时，都有成立，那么函数叫做周期函数，常数叫做函数的周期，对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期. 基础1：函数周期性的判断 【例4】（2021·上海市实验学校高一期末改）★★★☆☆ 函数为定义在上的奇函数，且满足，则的周期为__________． 【答案】4 【详解】 ，，又为奇函数， 是周期为的周期函数. 【练习】（编者精选）★★★☆☆ 已知定义在N上的函数满足：． 求证：是周期函数，并求出其周期. 【答案】周期为6； 【详解】 解：因为， 所以 所以. 所以是周期函数，周期为6. 综合类型 综合1：根据对称性或周期性求函数值 【例5】（2020秋?崇明区期末）★★★☆☆ 已知函数，对任意，都有为常数），且当，时，，则　 　． 【答案】2 【解答】解：因为对任意，都有为常数， 所以，从而， 即的周期为4， 所以（1）， 故答案为：2． 【例6】（2019·上海虹口区·高三月考）★★★★☆ 若函数，则的值为________. 【答案】 【详解】 根据题意，函数， 当时，，则，， 当时，①， ②， ①+②得， ∴，即，， 又， 而， ， ， ∴；故答