（沪教版2020必修一）2021-2022学年高一数学重难点专题-第18讲 数学思想选讲（二）（含解析）.docxVIP

SSR-Studio SSR-Studio 10 - 第18讲 第18讲 数学思想选讲（二） 数学思想 数学思想三：类比思想 【例1】（2020秋?天心区校级期中）★★★☆☆ 我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数． （1）求函数图像的对称中心； （2）请利用函数的对称性求（1）（2）的值； （3）类比上述推广结论，写出“函数的图像关于轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论． 【解答】解：（1）设的对称中心为点 设，则为奇函数，依题可知， 且， 故， 即， 即， ， ，解得， 函数的图像的对称中心为， （2）由（1）知函数的图像的对称中心为， ， （2），且（1）， （1）（2）； （3）推论：函数的图像关于成轴对称的充要条件是函数为偶函数， 或者函数的图像关于成轴对称的充要条件是函数． 【例2】（2020秋?杨浦区校级期末）★★★★☆ 若函数的定义域为，集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为上的增长函数． （1）已知函数，函数，判断和是否为区间，上的增长函数，并说明理由； （2）已知函数，且是区间，上的增长函数，求正整数的最小值； （3）请在以下两个问题中任选一个作答：（如果两问都做，按①得分计入总分） ①如果对任意正有理数，都是上的增长函数，判断是否一定为上的单调递增函数，并说明理由； ②如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围． 【解答】 解：（1）是：因为，，； 不是，反例：当时，． （2）由题意得，对于，恒成立， 等价于，即对，恒成立， 因为，所以是关于的一次函数且单调递增，于是只需， 解得，所以满足题意的最小正整数为9． （3）①不是 构造，则对任意的正有理数， 若，则，因此； 若，则，因此． 因此是上的增函数，但不是增函数． ②根据题意，当时，， 则当时，，当时，，由奇函数的对称性可知： 当时，，当时，， 则可得函数图像如图： 易知图像与轴交点为，，，， 因此函数在，上是减函数，其余区间上是增函数， 是上的增长函数，则对任意的，都有， 易知当时，， 为保证，必有，即， 故且， 所以，解得， 故答案为． 【练习】（2019秋?浦东新区校级期末）★★★★☆ 设是定义在，上的函数，若存在使得在，上单调递增，在，上单调递减，则称为，上的单峰函数，为峰点，包含峰点的区间为的含峰区间． （1）判断下列函数是否为，上的单峰函数： ①，，； ②，，； ③，，； ④，，； 对任意的，上的单峰函数，下面研究缩短其含峰区间长度（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）； （2）证明：对任意的，，，若，则为含峰区间，若，则，为含峰区间； （3）对给定的，证明：存在，，满足，使得由（2）所确定的含峰区间的长度不大于． 【解答】 解：（1）根据单峰函数的定义可以判断， ①在上单调递增，在上单调递减； ②在上单调递增，在上单调递减； ③在上单调递增，在，上单调递减； ④在上单调递减，在上单调递增； 故①③是单峰函数； （2）证明：设为的峰点， 则由单峰函数定义可知，在，上单调递增，在，上单调递减． 当时，假设， ，则， 从而， 这与矛盾，所以，即是含峰区间． 当时，假设，，则， 从而， 这与矛盾， 所以，，即，是含峰区间． （3）证明：由（2）的结论可知： 当时，含峰区间的长度为； 当时，含峰区间的长度为； 对于上述两种情况，由题意得 ① 由①得，即 又因为，所以，② 将②代入①得 ，，③ 由①和③解得，． 所以这时含峰区间的长度， 即存在，使得所确定的含峰区间的长度不大于． 数学思想四：转化思想 【例3】（2018?青岛二模）★★★★☆ 若直角坐标平面内两点、满足条件：①、都在函数的图像上；②、关于原点对称，则对称点是函数的一个“友好点对”（点对与看作同一个“友好点对” ．已知函数则的“友好点对”有　　 个． 【答案】2 【解答】解：根据题意：“友好点对”，可知， 只须作出函数的图像关于原点对称的图像， 看它与函数交点个数即可． 如图，观察图像可得：它们的交点个数是：2． 即的“友好点对”有：2个． 故答案为：2． 【例4】（2020秋?嘉定区期末）★★★★☆ 二次函数恒有两个零点、，不等式恒成立，则实数的最大值为　　 ． 【答案】 【解答】解：二次函数恒有两个零点、， △， 设，， ， ①， 令， 当给定时，时可使①取得最小值， 当时，则①可变为， 当时，取，则①变成， ①最小值为，故的最大值为． 【练习】（2020秋?虹口区期末）★★★★☆ 已知函数，，的零点依次为、、，则、、的大小关系为　　. A． B．