（沪教版2020必修一）2021-2022学年高一数学重难点专题-第14讲 函数的值域与最值（含解析）.docxVIP

SSR-Studio SSR-Studio 12 - 第14 第14讲 函数的值域与最值 知识梳理与应用 类型一：分式类型函数 最一般形式： 常见的为：分子分母中至多有一个为2次多项式 基本思路： 1. 换元：分子或分母为一次多项式时，可换元；复合函数，外层为分式函数时，内层可换元； 2. 分离整式：即可得到反比例函数形式、对勾函数形式或蝴蝶函数形式； 3. 单调性或基本不等式：如果满足平均值不等式的使用条件可直接应用求最值；若不满足可根据单调性求值域/最值； 示例： （1）即可判断单调性 （2） 亦可换元： 令，则 即可使用平均值不等式或判断单调性； （3） 定义域：且， 换元：令则且, ， 时，；（注意分类讨论，0不能做除数） 时，即可判断单调性 【例1】（2018·上海普陀区·曹杨二中高三月考）★☆☆☆☆ 函数，的值域是________. 【答案】； 【详解】 ,因为,故， 故. 【例2】（2017·上海市洋泾中学高一月考）★★☆☆☆ 已知，函数的值域为___________. 【答案】. 【详解】 . 因为， 所以，当且仅当时取“”. 所以. 故答案为：. 【例3】（2019?复旦附中高一上期末10）★★★★☆ 对于函数，若对于任意的，，，，，为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”，已知函数是“可构造三角形函数”，则实数的取值范围是　　 ． 【答案】， 【解答】 解：不妨设，由题意可得恒成立 分离整式：由于， 单调性： ①当，，此时，，，都为1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件． ②当，在上是减函数，值域为 由，可得，解得． ③当，在上是增函数，值域为， 由，可得，解得． 综上可得，， 故实数的取值范围是，. 【练习】（2017·上海市松江二中高一月考）★★★☆☆ 函数的值域为_________________． 【答案】[－1,1) 【解析】 由题可得，由易得0≤2， 故y∈[－1,1)，所以函数的值域为[－1,1) ． 【练习】（2021·上海杨浦区·复旦附中高一期末）★★★☆☆ 若函数的值域为，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】 由题意， 当，即时，函数在单调递增， 故，值域为恒成立； 当，即时，， 当且仅当，即时取等， 又在单调递增，且， 若值域为，则有，解得， 综上所述，的取值范围为， 故答案为：. 类型二：含绝对值类型函数 含有绝对值的函数，一般都可以通过写成分段函数去绝对值来解决问题. 但有些特殊的形式出在客观题位置时，可以直接应用结论： ，形式 若，开口向上，有最小值，为； 若，开口向下，有最大值，为； 若，就最大值为，也有最小值为 ，形式 若,最大值为，最小值需判断和的位置关系 若,最小值为，最大值需判断和的位置关系 证明： 不妨设 则 所以图像如下 ， ， 【例4】（2021·上海市大同中学高一期末）★★★☆☆ 函数的最大值为3，则的取值范围为______________. 【答案】 【详解】 解法一： 根据上述结论，最大值为，则，解得. 解法二： 当时，；当时，； 当时，； 所以函数式可化为 函数图象如图所示： 因为 时最大值为3，又当时，，当时，； 由图知， . 【例5】（2021·上海黄浦区·高三二模）★★★★☆ 已知，函数的最小值为，则由满足条件的的值组成的集合是_______________. 【答案】 【详解】 分以下三种情况讨论： ①若时，即当时，， 所以，函数在上单调递减，且， 当时，， 此时，函数无最小值； ②若时，即当时，， 当时，， 当时，. ，所以，，整理可得， ，解得（舍去）； ③当时，即当时，， 当时，， 当时，. 因为，所以，，整理可得， ，解得或（舍去）. 综上所述，实数的取值集合为.故答案为：. 【练习】（2020华师大二附中高二期末）★★★☆☆ 已知的最小值为，则的值__________. 【答案】 【详解】 解：，根据上述结论，其最小值为. 得， ，得，舍去. 故. 【练习】（2019·上海位育中学高二期末）★★★☆☆ 已知函数，若当时，函数都能取到最小值，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】 当时，， 若函数都能取到最小值，则不是的子集， 当是的子集时，，解得， 因为不是的子集，所以或； 同理：当时，， 因为不可能是的子集，所以此时函数都能取到最小值 当时，，其在时明显有最小值， 综上所述：的取值范围是. 类型三：含根式类型函数 【例6】（2015·上海理工大学附属中学高一月考）★★★☆☆ 函数的值域是____________. 【答案】 【详解】 解：由得，即函数的定义域为， 设，则， 且，即， 则原函数等价为， ，，