解析几何中如何计算参数取值范围.docx

第 PAGE 第 PAGE 1 页 解析几何中如何计算参数取值范围 近几年来，与解析几何有关的参数取值范围的问题经常 出现在高考考试中， 这类问题不仅涉及知识面广， 综合性大， 应用性强，而且情景新颖，能很好地考查学生的创新能力和 潜在的数学素质，是历年来高考命题的热点和重点。学生在处理这类问题时，往往抓不住问题关键，无法有效地解答， 这类问题求解的关键在于根据题意，构造相关的不等式，然后求出不等式的解。那么，如何构造不等式呢？本文介绍几种常见的方法： 一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式 曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围 , 如椭圆x2a2+y2b2=1 上的点 P(x,y) 满足 - a≤x≤a, - b≤y≤b, 因而可利用这些范围来构造不等式求解 , 另外, 也常出现题中有多个变量 , 变量之间有一定的关系 , 往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式 , 再来求解 . 这是解决变量取值范围常见的策略和方法 . 例 1 已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a0),A,B 是椭圆上的两点 , 线段AB的垂直平分线与 x 轴相交于点 P(x0,0) 求证 :-a2- b2a≤x0≤a2 -b2a 分析 : 先求线段 AB的垂直平分线方程 , 求出 x0 与 A,B 横坐标的关系 , 再利用椭圆上的点 A,B 满足的范围求解 . 解: 设 A,B 坐标分别为 (x1,y1),(x2,y2),(x1 ≠x2) 代入椭圆 方程 方程 , 作差得 :y2-y1x2-x1=-b2a2?x2+x1y2+y1 又∵线段 AB的垂直平分线方程为y-y1+y22=-x2-x1y2-y1(x-x1+x22) 令 y=0 得 x0=x1+x22?a2-b2a2 又∵ A,B 是椭圆 x2a2+y2b2=1 上的点 ∴ - a≤x1≤a, - a≤x2≤a,x1 ≠x2 以及 - a≤x1+x22≤a ∴ -a2- b2a≤x0≤a2 -b2a 例 2 如图, 已知△ OFQ的面积为 S, 且 OF?FQ=1,若 122, 求向量 OF与 FQ的夹角 θ 的取值范围 . 分析 : 须通过题中条件建立夹角 θ 与变量 S 的关系 , 利用 S 的范围解题 . 解: 依题意有 ∴tan θ=2S ∵122∴1tan θ4 又∵ 0≤θ≤π ∴π 4p 例 3 对于抛物线 y2=4x 上任一点 Q,点 P(a,0) 都满足 |PQ| ≥|a|, 则 a 的取值范围是 () Aa0Ba≤2C0≤a≤2D0p 分析 : 直接设 Q点坐标 , 利用题中不等式 |PQ| ≥|a| 求解 . 解: 设 Q(y024,y0) 由|PQ| ≥a 得 y02+(y024- a)2 ≥a2 即 y02(y02+16- 8a) ≥0 ∵y02 ∵y02≥0∴(y02+1 6- 8a) ≥0即 a≤2+y028 恒成立 又∵ y02≥0 而 2+y028 最小值为 2∴a≤2选(B) 二、利用判别式构造不等式 在解析几何中 , 直线与曲线之间的位置关系 , 可以转化为一元二次方程的解的问题 , 因此可利用判别式来构造不等式求解. 例 4 设抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q的直线L 与抛物线有公共点 , 则直线 L 的斜率取值范围是 () A[-12,12]B[-2,2]C[-1,1]D[-4,4] 分析 : 由于直线 l 与抛物线有公共点 , 等价于一元二次方程有解, 则判别式△≥0 解: 依题意知 Q坐标为 (-2,0), 则直线 L 的方程为 y=k(x+2) 由得 k2x2+(4k2-8)x+4k2=0 ∵直线 L 与抛物线有公共点 ∴△≥0 即 k2≤1解得- 1≤k≤1故选 (C) 例 5 直线 L:y=kx+1 与双曲线 C:2x2-y2=1 的右支交于不同的两点 A、B，求实数 k 的取值范围 . 分析 : 利用直线方程和双曲线方程得到 x 的一元二次方程 , 由于直线与右支交于不同两点 , 则△ 0, 同时 , 还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于 k 的不等式 . 解：由得 (k2-2)x2+2kx+2=0 ∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则 ∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则 解得 -2p 三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式 曲线把坐标平面分成三个区域，若点 P(x0,y0) 与曲线方程f(x,y)=0 关系：若 P 在曲线上，则 f(x0,y0)=0; 若 P 在曲线内，则 f(x0,y0) 若 P 在曲线外，则 f(x0,y0) 可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。故可用这些关系来构造不等式 解题 . 例 6 已知椭圆 2x2+y2=a2(a0) 与连结两点