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?工程数学—概率统计简明教程?（第二版） —多媒体参考资料同济大学数学系 柴根象 蒋凤瑛 杨筱菡2011.12第一篇 概率论部分第二篇 统计部分信息时代与统计（代序） 2009年8月6日的美国纽约日报有篇文章，题为：对如今的毕业生而言，就一个词：统计学. 谷歌的首席经济学家哈尔·瓦里安说：“我一直都说，在未来10年，最具吸引力的工作将是统计师.” 统计师地位的提高是近来电子数据爆炸式增长的结果，到2012年，全球电子数据约增长5倍. 正如麻省理工学院的埃生克·布林约尔松所说,我们正在迅速进入一个每件事都能被监控和分析的世界，但问题在于人类利用、分析和解释数据的能力！这正反映了信息时代对统计和统计人才的强大需求，鲜活客观的数据是解决长期经济需求问题，以及确定重要政策的优先程序的第一步.因而人们只有借助统计学这一重要工具，使用计算机和缜密的数学模型，在大量数据中发掘重要信息，寻求其规律和决定对策.第一篇概 率 论 部 分（一）事件的概率（二）条件概率与事件的独立性（三）随机变量及其分布（四）随机变量的数字特征（一）事件的概率1.随机事件2.概率的概念及性质3.古典概型1.随机事件在随机试验中，对某些现象的陈述为随机事件（也简称事件）.对于指定的一次试验，一个特定的事件可能发生，也可能不发生，这就是事件的随机性.例1（第一章例1），投掷一枚均匀骰子，观察朝上面的点数，我们关注“出现点数不大于4”这个事件（记之为A）.当试验结果出现3点时，事件A发生；当试验结果出现5点时，事件A不发生.总之，在试验前，无法判断事件A是否发生.事件的关系（1） （B包含A）;（2）A=B（A与B相等）;（3）A与B互斥（A，B不能在一次试验中同时发生）.事件的运算 例2（第一章例7） 有两门火炮同时向一架飞机射击，考察事件A={击落飞机}，依常识，“击落飞机”等价于“击中驾驶员”或者“同时击中两个发动机”，因此A是一个较复杂的事件.如记Bi={击落第i个发动机},i＝1,2，C={击中驾驶员}，相对A而言，B1、B2及C都较A为简单.我们可以用B1、B2及C表示AA= B1B2∪C 这可以简化复杂事件A的概率计算. 事件分解的要点是：正确使用事件的运算建立各简单事件之间的关系. 2.概率的概念及性质概率是事件发生的可能性大小的度量.概率的统计定义：概率是频率的稳定值, 常常用于概率的近似计算，是非常有用的.但要注意，试验次数要足够多.概率的三条公理事件的加法公式及推广:对于任意事件A、B,有3.古典概型概型的要求①有限性：可能结果只有有限个；②等可能性：各个可能结果出现是等可能的.概率的计算公式 例4（第二章例1）设有批量为100的同型号产品，其中次品有30件.现按以下两种方式随机抽取2件产品：（a）有放回抽取，即先任意抽取1件，观察后放回，再从中任取1件；（b）不放回抽取，即先任意抽取1件，观察后不放回，从剩下的产品中再任取1件.试分别按这两种抽样方式求:（1）两件都是次品的概率；（2）第1件是次品，第2件是正品的概率.解容易验证满足古典概型的要求 记A={两件都是次品}， B ={第1件次品，第2件正品}. 只讨论有放回情况（不放回情况是类似的）,计算样本点总数，注意随机抽取2件产品的试验可以看成有放回地二次抽取，每次取一件.而每次抽取均有100种可能结果，依原理，一共有n＝100 × 100＝10,000种可能结果，此即样本点总数. 而构成事件A的样本点的条件必须每次抽取来自30件次品，因此每次有30种可能结果，因而有k＝30×30＝900种可能结果，于是 同理，可得（二）条件概率与事件的独立性1.条件概率2.全概率公式和贝叶斯公式3.事件的独立性1.条件概率例6（第三章例3）一批零件共100件，其中次品有10件，今从中不放回抽取2次，每次取1件，求第一次为次品，第二次为正品的概率.解 记A＝{第一次为次品}， B＝ {第二次为正品}， 要求P(AB)，由乘法公式，先求P(BlA)及P(A) 已知P(A)=0.1，而P(BlA)＝90/99， 因此 P(AB) ＝ P(A)P(BlA) ＝0.1×90/99＝0.091.原因A1原因A2原因An… …结果B全概率公式是已知“原因”发生概率，求“结果”发生概率.2.全概率公式和贝叶斯公式原因A1原因A2原因An… …结果B 贝叶斯公式是已知“结果”，推断该“结果”由某“原因”发生的概率。 在贝叶斯公式中，称P(A1)，… ，P(An)为先验概率，而P(A1lB) ，… ， P(An lB)为后验概率，它表示在有了试验结果B已发生的附加信息下，对先验概率的修正. 例8（第三章例6） 血液化验 一项血液化验以概率0.95将带菌病人检出阳性，但也有1％的概率误将健康人检出阳性.设已知该种疾