高考数学解题方法攻略不等式放缩理.docx

文档来源为 : 文档来源为 :从网络收集整理 .word 版本可编辑 .欢迎下载支持 . 数列型不等式放缩技巧八法 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 利用重要不等式放缩 均值不等式法 例 1 设 Sn 1 2 2 3 n( n 1) . 求证 n(n 1) Sn S 2 2 (n 1) . 2 解析 此数列的通项为 ak k(k , k 1,2, n , n. n k k(k 1) k k 1 2 k 1 ， 2 k Sn k 1 (k 1 ) ， k 1 2 即 n( n 1) S 2 n n(n 1) n 2 2 (n 1) 2 . 2 注：①应注意把握放缩的 “度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式 ab a b ， 22 2 若放成 k( k 1) k 1则得 Sn n (k 1) k 1 (n 1)(n 3) 2 (n 1) 2 ，就放过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 其中， n 2,3 等的各式及其变式公式均可供选用。 例 2 已知函数  f ( x) 1 ，若 1 a 2 bx  f (1)  4 ，且 5  f ( x) 在[0 ，1] 上的最小值为 1 ， 2 求证： f (1) f (2) f (n) 1 n n 1 2 1 . （02 年全国联赛山东预赛题） 2 简析 f ( x) 4 x 1 4x 1 1 1 4 x 1 1 2 ? 2 x ( x 0)  f (1)  f ( n) 1 (1 ) 2 2 例 3 已知 a, b 为正数，且 1 a 1 1 ，试证：对每一个 n N ， b ( a b) n an bn 22n 2n 1 . （ 88 年全国联赛题） 简析 由 1 nna n n 1 1 得 ab b a b ，又 (a b )( 1 1) 2 a b a b b a 4 ，故 nab a b n 4 ，而 ( a b) n C 0 a n C 1a n 1b C r an r b r C nb n ， 令 f (n) ( a b) n an b ，则 f (n) = C 1 a n 1b C r a n r br n 1ab n 1 ， nnCCni因为 n n n C C n i n i Crnn1nrrrnr1n1n ，倒序相加得 C r n n 1 n r r r n r 1 n 1 11n2 f (n) = Cn (a b 1 1 n ab ) Cn (a b a b ) Cn ( ab a b) ， n1n n 1 n1rnrnrrnrnrnrr而 a n 1b n 1 r n r n r r n r n r n r r abn 1 a n r br ar b n r ab n 1 a n 1b 2 a nb n 2 4 2 2n 1 ，则 1r2 f (n) = (Cn Cn 1 r Cn )(a b a b ) (2 2)( a b a b ) (2n 2n 1 ，所以 f (n) (2n 2) 2 n ，即对每一个 n N ， (a b) n an bn 22n n 1 . 2n 1 2 CCCCCnn nn2n2112n例 4 求证 1 2 C C C C C n n n n 2 n 2 1 1 2 n n 2 ( n 1, n N ) . CCCnnn简析 不等式左边 1 2 3 C C C n n n n n 22 2n 1 n n 1 2 2 2 2n 1 = n n 1 2 2 ，原结论成立 . nn利用有用结论 n n 例 5 求证 (1  1)(1 1 1 )(1 ) 3 5 (1 1 ) 2n 1  2n 1. 简析 本题可以利用的有用结论主要有： 法 1 利用假分数的一个性质 b b m (b 2a a m 2  a 0, m 0) 可得 ( 2 4 6 1 3 5 2n ) 2n 1 2n 1 即 (1 1)(1 1)(1 1) 3 5 (1 1 ) 2n 1 2n 1. 法 2 利用贝努利不等式 (1 x) n 1 nx(n N , n 2, x 1, x 0) 的一个特 例 (1 1 2