史上最全的数列通项公式的求法15种.docx

? ? PAGE # .文档来源为:从网络收集整理.woid版本可编辄 . . PAGE # .丈档来源为:从网络收集整理.woid版木可编辑. ( ( PAGE #) 写出丄与，L_1，匸7之间的关系式(〃 2 3 )。 .1 .丈档来源为:从网络收集整理.woid版本可编辄 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎卜栽支持. 最全的数列通项公式的求法 数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题f般较易?大题一般较难。而作为给出 数列的一种形式一一通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。 ?一、直接法 根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。 例1. 根据卜列数列的前几项，说出数列的通项公式: 1、 2、1,2,5,8,12 3、 4、 1,?1丄?1??… 5、 1、 0、 1、 0 ?二、公式法 利用等差数列或等比数列的定义求通项 ②若己知数列的前〃项和S“与。“的 ②若己知数列的前〃项和S“与。“的关系，求数列｛。｝的通项气可用公式4= ?〃 = 1 n2 求解. (注意：求完后一定要考虑合并通项) 例2.①己知数列｝的前〃项和5”满足+(-!)%? 1.求数列統｝的通项公式. 己知数列｛气｝的前〃项和S〃满足Sn=n+n-\.求数列｛气｝的通项公式. 己知等比数列｛“〃｝的首项劣=1,公比001,设数列｛如｝的通项为如=。知+“把，求数列 ｛如｝的通项公式。 3解析：由題意.、=+??又｛%｝是等比数列，公比为q 三=―=q，故数列但｝是等比数列，b\=m+a,=%qS=q(q + l), ??? 4=q(g+i)?矿-=g(g+i) ?三、归纳猜想法 如果给出了数列的前几项或能求出数列的前儿项，我们可以根据前凡项的规律，归纳猜想出数列的通项 公式，然后再用数学归纳法证明之。也可以猜想出规律，然后正面证明。 例3.(2002年北京春季高考)己知点的序列An(xnfi)jieN\其中 = 0,七=以〃 0),人是线 段凡冬的中点,是线段的中点，…，九是絞段a/i的中点，… 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下我支持. （2） 设与，计算勺，化，。3,由此推测｛?〃｝的通项公式，并加以证明。 （3） 略 解析：（1）?.?人“是线段心的中点，.5 = Lt ； Lt （，修3） （2） aY= x2- x{ = a-0 = a . a2 = S _ a2 = S _ x2 = —； 土=_ 寻（七 f ）=一寸， 猜想虬=（_!）”—“（〃eN*）,下面用数学归纳法证明 1°当n=l时，a, = a显然成立； 2°假设n=k时命题成立，即ak = e N*） X + X 则 n=k+l 时，at+l = xk+2 -l+i =上匕一--xk^~-（%4+1 = （*）% = （-；）、 当n=k+l时命题也成立， 命题对任意〃任N*都成立。 变式：（2006,全国H,理,22,本小题满分12分） 设数列侦”｝的前〃项和为S”且方程x2-a^-an=o有_根为￡—1，n=lt 2, 3,… I）求久，02； （H） ｛an）的通项公式， 累加（乘）法 累加（乘）法 对于形如= an + /（?）型或形如。宀=fWan型的数列，我们可以根据递推公式，写出n収1到n 时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乗）即可得到通项公式。 例4.若在数列｛qj中,％=3.an^ = afl + n .求通项 解析：由。,土 =4+得—〃 =〃，所以 n〃-。〃一」=〃-1，《1-\=〃-2，…，们-《=1， 将以上各式相加得:ctn 一％ =（〃一1） + （〃-2） +???+ 1, 乂％ = 3 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下我支持. 所以《=丝户+ 3 例5.在数列｛?“｝中，《=1,。出=2”％ EN）,求通项％。 解析：由己知外= 2”,巡=2”气冬± = 2心，…，全=2,又4=1, % ^n-1 2 n(n— 所以％= —— ?q = 2i.2”7 ?…?2?1=2亍 ?五、取倒（对）数法 」j = 1尻这种类型一般是等式两边取对数后转化为，H = P,+。，再利用待定系数法求解 b、数列有形如/（上,《1，《冋-1）= 0的关系，可在等式两边同乘以一^一，先求出丄，再求得％ W an °、z =—仪）气 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为= PL + q。 g（n）an + h（n） 例6.,设数列｛%｝满足/ = 2.勺心=—、（心N）.求气. 4+3 解：原条件变形为％广％+3?。相=%.两边同乘以一-—，得1 + 3?丄=丄 “口 ? ”/th e ?.?3(丄4 = -LJ,