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《 高 等 数 学 基 础 》 形 成 性 考 核 册 第三次作业参考答案 第四章 导数的应用 一、单项选择题 1、D 2 、D 3 、A 4 、C 5 、C 6 、A 二、填空题 1、极小值 2 、0 3 、 ( ,0) 4、 (0, ) 5 、 f (a) 6 、 (0,2) 三、计算题 1、求函数 y (x 1)( x 5)2 的单调区间和极值。 解：函数的定义域是 ( , ) 。 求导： 令 y (x 5)(3x 3) 0 ，得 x 5 或 x 1 ； 令 y (x 5)(3x 3) 0 ，得 1 x 5 ； 因此，单调上升区间为 ( ,1) 何 (5, ) ，单调下降区间为 (1,5) 。 2 、求函数 y x2 2 x 3在区间 [0,3] 内的极值点，并求最大值和最小值。 解：求导数： 令 y 2x 2 0 ，得驻点为 x 0 ； 求二阶导数： 因此， x 0 为函数的极小值点。函数没有极大值点。 计算并比较函数值： 可见，最大值是 f (3) 6 ，最小值是 f (1) 2 。 3、求曲线 y2 2x 上的点，使其到点 A(2,0) 的距离最短。 解：设曲线上点坐标为 (x , y ) ，它到点 A(2,0) 的距离为 1 x 1 求导数： d 2 (2x 2) 2 2 x 2x 4 x 2x 4 x 1 令 d 0 ，得唯一驻点是 x 1。根据问题的实际背景可知这是所求的点的横坐标。 代 2 x 2x 4 入曲线方程，可得 y 2 。所以，所求的点为 (1, 2 ) 何 (1, 2 ) 。 4 、圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为 L ，问当底半径与高分别为多少 时，圆柱体的体积最大？ 解：如右图所示，设底面半径为 r ，高为 h ，体积为 V 。则上底中心到下底边沿的距离为 计算体积： 2 2 3L 令 V L 3 h 0 ，求得唯一驻点为 h 。根据问题的实际意义可知，这个值即为所求。此 3 时， 6L 3L 所以，当底面半径为 ，高为 时体积最大。 3 3 5、一体积为 V 的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？ 解：如右图所示，设圆柱体的底面半径为 r ，高为 h ，表面积 为 y 。 根据条件知该圆柱体的体积为 V ： 表面积等于上、下底的面积与侧面积的和，因此 令 V 4 r 2V 0 ，得唯一驻点为 r 3 V 。根据 问题的实际 2 2 r 意义知驻点即为所求结果。代入可求得 h 3 4V 。 所以，底面半径为 3 V