高中数学函数与方程知识点总结经典例题及解析高考真题及答案.pdfVIP

函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数 y f (x) ，我们把方程 f (x) 0 的实数根叫做函数 y f (x) 的零点。 （2 ）方程 f (x) 0 有实根 函数 y f (x ) 的图像与 x 轴有交点 函数 y f ( x) 有零点。因此判断 一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程 f (x) 0 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的 求法：解方程 f ( x) 0 ，所得实数根就是 f (x) 的零点 （3 ）变号零点与不变号零点 ①若函数 f (x) 在零点 x0 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数 f (x) 的变号零点。 ②若函数 f (x) 在零点 x0 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数 f (x) 的不变号零点。 ③若函数 f (x) 在区间 a,b 上的图像是一条连续的曲线，则 f ( a) f ( b) 0 是 f (x) 在区间 a ,b 内有零点的 充分不必要条件。 2 、函数零点的判定 （1）零点存在性定理： 如果函数 y f (x) 在区间 [a,b] 上的图象是连续不断的曲线， 并且有 f ( a) f (b) 0 ， 那么，函数 y f ( x )在区间 内有零点， 即存在 ( , ) ，使得 ，这个 x 也就是方程 a, b x a b f (x ) 0 f ( x) 0 0 0 0 的根。 （2 ）函数 y f (x) 零点个数（或方程 f ( x) 0 实数根的个数）确定方法 ① 代数法：函数 y f (x) 的零点 f (x ) 0 的根； ② （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 y f (x) 的图象 联系起来，并利用函数的性质找出零点。 （3 ）零点个数确定 0 y f (x )有 2 个零点 f (x ) 0有两个不等实根； 0 y f (x )有 1 个零点 f (x ) 0有两个相等实根； 0 y f (x )无零点 f (x ) 0 无实根； 对于二次函数在区间 a, b 上的零点个数， 要结合图像进 行确定 . 1、 二分法 （1）二分法的定义 :对于在区间 [ a,b] 上连续不断且 f (a) f (b) 0 的函数 y f (x ) ,通过不断地把函数 y f (x) 的零点所在的区间一分为二 ,使区间的两个端点逐步逼近零点 ,进而得到零点的近似值的方法叫 做二分法 ; （2 ）用二分法求方程的近似解的步骤 : ① 确定区间 [ a, b] ,验证 f ( a) f (b) 0 ,给定精确度 ; ②求区间 (a,b) 的中点 c ; ③计算 f (c) ; ( ⅰ)若 f (c ) 0 ,则 c 就是函数的零点 ; ( ⅱ) 若 f (a ) f ( c) 0 ,则令 b c (此时零点 x0 (a, c) ); (ⅲ ) 若 f (c) f (b) 0 ,则令 a c (此时零点 x0 (c,b) ); ④判断是否达到精确度 ,即 a b ,则得到零点近似值为 a (或 b ); 否则重复②至④步 . 【经典例题】 x 3 1．函数 f (x)=2 +x 2 在区间 (0,1) 内的零点个数是 （ ） A 、0 B 、 1 C 、2 D 、3 2．函数 f(x) ＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间