高等数学期末复习考试之常微分方程部分.pdfVIP

第 11 章 常微分方程习题课 一 . 内容提要 1.基本概念 含有一元未知函数 y(x) ( 即待求函数 ) 的导数或微分的方程 ,称 为 常微分方程 ;其中出现的 y( x) 的最高阶导数的阶数称为此微分方 程的 阶;使微分方程在区间 I 上成为恒等式的函数 y (x) 称为此 微分方程在 I 上的 解 ;显然一个微分方程若有解 ,则必有无穷多解 ; 若 n 阶微分方程的解中含有 n 个不可合并的任意常数 ,则称其为此 微分方程的 通解 ;利用 n 个独立的附加条件 (称为定解条件 )定出了 所有任意常数的解称为 特解 ;微分方程连同定解条件一起 ,合称为 一个 定解问题 ;当定解条件是初始条件 (给出 y, y , , y( n 1) 在同一点 x 处的值 )时,称为 初值问题 . 0 2.一阶微分方程 y f ( x, y ) 的解法 dy (1)对于可分离变量方程 (x) ( y ) , dx dy 先分离变量 (当 ( y) 0 时)得 (x )dx , ψ(y ) dy 再两边积分即得通解 (x)dx C . (y) dy y (2)对于 齐次方程 f , dx x 作变量代换 u y ,即 y xu ,可将其化为可分离变量的方程 ,分 x 离变量后 ,积分得 du dx C ,再以 y 代替 u 便得到齐次方 f (u) u x x １ / 19 程的通解 . dy ax by c (3)形如 f ( ) 的方程 , dx a x b y c 1 1 1 ①若 c, c 均为零 ,则是齐次方程 ; 1 ②若 c, c 不全为零 ,则不是齐次方程 ,但 1 a b 当 k 时 ,只要作变换 v a x b y ,即可化为可分离 1 1 a b 1 1 变量的方程 dv b f ( kv c ) a ; 1