01 第一节 空间解析几何简介.docVIP

第六章 多元函数微积分 在前面几章中，我们讨论的函数都只有一个自变量，这种函数称为一元函数. 但在许多实际问题中，我们往往要考虑多个变量之间的关系，反映到数学上，就是要考虑一个变量（因变量）与另外多个变量（自变量）的相互依赖关系. 由此引入了多元函数以及多元函数的微积分问题. 本章将在一元函数微积分学的基础上，进一步讨论多元函数的微积分学. 讨论中将以二元函数为主要对象，这不仅因为有关的概念和方法大都有比较直观的解释，便于理解，而且这些概念和方法大都能自然推广到二元以上的多元函数. 第一节 空间解析几何简介 空间解析几何的产生是数学史上一个划时代的成就. 它通过点和坐标的对应，把数学研究的两个基本对象“数”和“形”统一起来，使得人们既可以用代数方法研究解决几何问题（这是解析几何的基本内容），也可以用几何方法解决代数问题. 本节我们仅简单介绍空间解析几何的一些基本概念，它们包括空间直角坐标系、空间两点间的距离、空间曲面及其方程等概念. 这些内容对我们学习多元函数的微分学和积分学将起到重要的作用. 分布图示 ★ 前言 ★ 空间直角坐标系 ★ 坐标面与卦限 ★ 点与坐标的对应关系 ★ 空间两点间的距离 ★ 例1 ★ 例2 ★ 曲面方程的概念 ★ 例3 ★ 例4 ★ 平面的一般方程 ★ 例5 ★ 例6 ★ 平面的截距式方程 ★ 例7 ★ 柱面 ★ 常用柱面 ★ 引言 ★ 椭球面 ★ 抛物面 ★ 双曲面 ★ 二次锥面 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6-1 内容要点 一、空间直角坐标系 在平面解析几何中，我们建立了平面直角坐标系，并通过平面直角坐标系，把平面上的点与有序数组(即点的坐标)对应起来. 同样，为了把空间的任一点与有序数组对应起来，我们来建立空间直角坐标系. 过空间一定点O, 作三条相互垂直的数轴， 依次记为轴（横轴）、轴（纵轴）、轴（竖轴），统称为坐标轴. 它们构成一个空间直角坐标系（图6-1-1）. 空间直角坐标系有右手系和左手系两种. 我们通常采用右手系. 二、空间两点间的距离 三曲面及其方程 定义1在空间直角坐标系中，如果曲面上任一点坐标都满足方程，而不在曲面S上的任何点的坐标都不满足该方程，则方程称为曲面S的方程, 而曲面S就称为方程的图形 空间曲面研究的两个基本问题是: (1) 已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程; (2) 已知曲面方程，研究曲面的几何形状. 平面 平面是空间中最简单而且最重要的曲面. 可以证明空间中任一平面都可以用三元一次方程 (1.3) 来表示，反之亦然. 其中、、、是不全为零常数. 方程(1.3)称为平面的一般方程. 柱面 定义2 平行于某定直线并沿定曲线C移动的直线所形成的轨迹称为柱面. 这条定曲线C称为柱面的准线, 动直线称为柱面的母线. 二次曲面 在空间直角坐标系中，我们采用一系列平行于坐标面的平面去截割曲面，从而得到平面与曲面一系列的交线（即截痕），通过综合分析这些截痕的形状和性质来认识曲面形状的全貌. 这种研究曲面的方法称为平面截割法，简称为截痕法. 椭球面 (1.4) 椭圆抛物面 （） 双曲抛物面 ( 与同号) 单叶双曲面 双叶双曲面 二次锥面 例题选讲 例1 求证以、、三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解 从而原结论成立. 空间两点间的距离 例2 (E01) 设P在x轴上, 它到的距离为到点的距离的两倍, 求点P的坐标. 解 因为在轴上，设点坐标为 所求点为 曲面及其方程 例3 (E02) 建立球心在点、半径为R的球面方程. 解 设是球面上任一点，根据题意有 特别地:球心在原点时方程为 例4 (E03) 方程表示怎样的曲面？ 解 对原方程配方，得 所以，原方程表示的球心在半径为的球面方程. 例5(E04) 求通过轴和点的平面方程. 解 设所求平面的一般方程为因为所求平面通过轴，且法向量垂直于轴,于是法向量在轴上的投影为零，即 又平面通过原点，所以从而方程成为 (1) 又因平面过点因此有即 以此代入当成(1)，再除以便得到所求方程为 例6 求平行于轴且过, 两点的平面方程. 解