07 第七节 二重积分的概念与性质.docVIP

第七节 二重积分的概念与性质 与定积分类似，二重积分的概念也是从实践中抽象出来的，它是定积分的推广，其中的数学思想与定积分一样，也是一种“和式的极限”. 所不同的是：定积分的被积函数是一元函数，积分范围是一个区间；而二重积分的被积函数是二元函数，积分范围是平面上的一个区域. 它们之间存在着密切的联系，二重积分可以通过定积分来计算. 分布图示 ★ 曲顶柱体的体积 ★ 二重积分的概念 ★ 二重积分的性质 ★ 二重积分的中值定理 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6-7 内容要点 一、二重积分的概念 定义1 设是有界闭区域D上的有界函数. 将闭区域D任意分成n个小闭区域 其中表示第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个上任取一点, 作乘积 并作和 如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时, 这和式的极限存在, 则称此极限为函数在闭区域D上的二重积分, 记为 即 (7.2) 其中称为被积函数,称为被积表达式, 称为面积微元, 和称为积分变量,称为积分区域, 并称为积分和. 对二重积分定义的说明: (1) 如果二重积分存在，则称函数在区域上是可积的. 可以证明，如果函数区域上连续，则在区域上是可积的. 今后，我们总假定被积函数在积分区域上是连续的; (2) 根据定义，如果函数在区域上可积，则二重积分的值与对积分区域的分割方法无关，因此，在直角坐标系中，常用平行于轴和轴的两组直线来分割积分区域，则除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域.设矩形闭区域的边长为和，于是. 故在直角坐标系中，面积微元可记为. 即. 进而把二重积分记为，这里我们把称为直角坐标系下的面积微元. 二、二重积分的性质 类似于一元函数的定积分，二重积分也有与定积分类似性质，且其证明也与定积分性质的证明类似. 例题选讲 二重积分的性质 例1 不作计算，估计的值，其中是椭圆闭区域： . 解 区域D的面积在上 由性质 6 知 例2（E01）估计二重积分的值, 其中积分区域为矩形闭区域. 解 积分区域面积 在上的最大值最小值 故 判断 的符号. 解 当时， 故 又当时， 于是 例4 积分有怎样的符号, 其中 解 0. 例5 (E02) 比较积分与的大小，其中区域D是三角形闭区域，三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0). 解 三角形斜边方程在内有 故 于是 因此 课堂练习 1.将二重积分定义与定积分定义进行比较, 找出它们的相同之处与不同之处. 2.试用二重积分表示极限