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第四节 全微分 我们已经知道，二元函数对某个自变量的偏导数表示当其中一个自变量固定时，因变量对另一个自变量的变化率. 根据一元函数微分学中增量与微分的关系，可得 上面两式左端分别称为二元函数对x和对y的偏增量，而右端分别称为二元函数对x和对y的偏微分. 在实际问题中，有时需要研究多元函数中各个自变量都取得增量时因变量所获得的增量，即所谓全增量的问题. 下面以二元函数为例进行讨论. 如果函数在点的某邻域内有定义，并设为这邻域内的任意一点，则称 为函数在点P对应于自变量增量的全增量，记为，即 (4.1) 一般来说，计算全增量比较复杂. 与一元函数的情形类似，我们也希望利用关于自变量增量的线性函数来近似地代替函数的全增量，由此引入关于二元函数全微分的定义. 分布图示 ★ 偏增量与全增量 ★ 全微分的定义 ★ 可微的必要条件 ★ 可微的充分条件 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 二元函数的线性化 ★ 例5 ★ 多元函数连续、可导、可微的关系 ★ 全微分在近似计算中的应用 ★ 例6 ★ 绝对误差与相对误差 ★ 例7 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6-4 内容要点 一、微分的定义 定义1 如果函数在点的全增量 可以表示为 (4.2) 其中A,B不依赖于而仅与x, y有关,则称函数在点可微分, 称为函数在点的全微分, 记为 即 . (4.3) 若函数在区域D内各点处可微分，则称这函数在D内可微分. 二、函数可微的条件 定理1 (必要条件) 如果函数在点处可微分, 则该函数在点的偏导数必存在, 且在点处的全微分 . (4.4) 我们知道，一元函数在某点可导是在该点可微的充分必要条件. 但对于多元函数则不然. 定理1 的结论表明，二元函数的各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件. 由此可见，对于多元函数而言，偏导数存在并不一定可微.因为函数的偏导数仅描述了函数在一点处沿坐标轴的变化率，而全微分描述了函数沿各个方向的变化情况. 但如果对偏导数再加些条件，就可以保证函数的可微性. 一般地，我们有： 定理2 (充分条件) 如果函数的偏导数在点连续, 则函数在该点处可微分. 三、微分的计算 习惯上，常将自变量的增量、分别记为、，并分别称为自变量的微分. 这样，函数的全微分就表为 (4.5) 上述关于二元函数全微分的必要条件和充分条件，可以完全类似地推广到三元及三元以上的多元函数中去. 例如，三元函数的全微分可表为 (4.6) 四、全微分在近似计算中的应用 设二元函数在点的两个偏导数 连续, 且都较小时, 则根据全微分定义，有 即 由，即可得到二元函数的全微分近似计算公式 (4.7) 例题选讲 例1（E01）求函数的全微分. 解 因为 例2（E02）计算函数在点(2, 1)处的全微分. 解 因为所以 从而所求全微分 例3 (E03) 求函数 的全微分. 解 由 故所求全微分 例4 求函数的偏导数和全微分. 解 二元函数的线性化 例5 （E04）求函数在点（3，2）处的线性化。 解 首先求和在点（3，2）处的值： 于是在点（3，2）处的线性化为 例6(E05) 计算的近似值. 解 设函数 由二元函数全微分近似计算公式得 例7 测得矩形盒的边长为75cm、60cm以及40cm，且可能的最大测量误差为0.2cm. 试用全微分估计利用这些测量值计算盒子体积时可能带来的最大误差. 解 以、、为边长的矩形盒的体积为 所以 由于已知 为了求体积的最大误差,取 再结合得 即每边仅0.2cm的误差可以导致体积的计算误差过到 课堂练习 1.讨论函数在点(0, 0)处函数的全微分是否存在? 2.设 求