03 第三节 一阶线性微分方程.docVIP

第三节 一阶线性微分方程 分布图示 ★ 一阶线性微分方程及其解法 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 伯努利方程 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题8-3 内容要点 一、一阶线性微分方程 形如 (3.1) 的方程称为一阶线性微分方程. 其中函数、是某一区间上的连续函数. 当方程(3.1)成为 (3.2) 这个方程称为一阶齐次线性方程. 相应地，方程(3.1)称为一阶非齐次线性方程. 方程(3.2)的通解 (3.3) 其中为任意常数. 求解一阶非齐次线性微分方程的常数变易法：即在求出对应齐次方程的通解(3.3)后，将通解中的常数变易为待定函数，并设一阶非齐次方程通解为 一阶非齐次线性方程(3.1)的通解为 (3.5) 二、伯努利方程：形如 (3.7) 的方程称为伯努利方程，其中为常数，且. 伯努利方程是一类非线性方程，但是通过适当的变换，就可以把它化为线性的. 事实上，在方程(3.7)两端除以，得 或 于是，令，就得到关于变量的一阶线性方程 . 利用线性方程的求解方法求出通解后，再回代原变量，便可得到伯努利方程(3.7)的通解 例题选讲 一阶线性微分方程 例1（E01）求方程的通解. 解 于是所求通解为 例2（E02）求方程的通解. 解 这是一个非齐次线性方程.先求对应齐次方程的通解. 由 用常数变易法,把换成即令则有 代入所给非齐次方程得两端积分得 回代即得所求方程的通解为 例3 求下列微分方程满足所给初始条件的特解. 解 将方程标准化为于是 由初始条件得故所求特解为 例4 求解方程 是的已知函数. 解 原方程实际上是标准的线性方程，其中 直接代入通解公式，得通解 例5（E03）求方程的通解. 解 当将看作的函数时，方程变为 这个方程不是一阶线性微分方程，不便求解.如果将看作的函数，方程改写为 则为一阶线性微分方程，于是对应齐次方程为 分离变量，并积分得即 其中为任意常数，利用常数变易法，设题设方程的通解为代入原方程,得 积分得 故原方程的通解为，其中为任意常数. 例6 如图（见系统演示）所示, 平行于轴的动直线被曲线与截下的线段之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 解 两边求导得解此微分方程得 由得故所求曲线为 例7 求的通解. 解 两端除以得 令得解得 故所求通解为 伯努利方程 例8（E04）求方程的通解. 解 以除方程的两端,得 即 令则上述方程变为 解此线性微分方程得 以代得所求通解为 例9（E05） 求方程的通解. 解 令则于是得到伯努利方程 令上式即变为一阶线性方程 其通解为 回代原变量，即得到题设方程的通解 例10（E06）求解微分方程 解 令则 利用分离变量法解得 将代回，得所求通解为 课堂练习 1.求微分方程的通解. 2. 设函数可微且满足关系式 求. 雅各布.伯努利（Jacob Bermoulli，1654~1705) 伯努利瑞士数学、力学、天文学家。1654年12月27日生于瑞士巴塞尔；1705年8月16日卒于巴塞尔。 雅各布.伯努利出生于一商人世家。他的祖父是一位药商，1662年移居巴塞尔。他的父亲接过兴隆的药材生意，并成了市议会的一名成员和地方行政官。他的母亲是市议员兼银行家的女儿。雅格布在1684年一位富商的女儿结婚，他的儿子尼古拉，伯努得是艺术家，巴塞尔市议会的议员和艺术行会会长。 雅格布毕业于巴塞尔大学，1671年获艺术硕士学位。这里的艺术是指“自由艺术”，它包括算术、几何、天文学、数理、音乐的基础，以及方法、修辞和雄辩术等七大门类。遵照他父亲的愿望，他又于1676年得硕士学位。同时他对数学有着浓厚的兴趣，但是他在数学上的兴趣遭到父亲的反对，他违背父亲的意愿，自学了数学和天文学。1676年，他到日内瓦做家庭教师。从1677年起，他开始在这里写内容丰富的《沉思录》。1678年雅格布进行了他第一次学习旅行，他到过法国、荷兰、英国和德国，与数学家们建立了广泛的通信联系。然后他又在法国度过了两年时光，这期间他开始研究数学问题。起初他还不知道牛顿和莱布尼兹的工作，他首先熟悉了笛卡尔的《几何学》、活利斯的《无穷的算术》以及巴罗的《几何学讲义》。他后来逐渐地熟悉了莱布尼兹的工作。1681-1682年间，他