03 第三节 一般常数项级数.docVIP

第三节 一般常数项级数 上节我们讨论了关于正项级数收敛性的判别法，本节我们要进一步讨论关于一般常数项级数收敛性的判别法，这里所谓“一般常数项级数”是指级数的各项可以是正数、负数或零. 先来讨论一种特殊的级数——交错级数，然后再讨论一般常数项级数. 分布图示 ★交错级数 ★例1 ★例2 ★绝对收敛与条件收敛 ★例3 ★例4 ★例5 ★例6 ★例7 ★内容小结 ★课堂练习 ★习题7-3 内容要点 一、交错级数收敛性的判别法; 二、绝对收敛：如果收敛，则称为绝对收敛；根据这个结果，我们可以将许多一般常数项级数的收敛性判别问题转化为正项级数的收敛性判别问题； 条件收敛：如果发散，但收敛，则称条件收敛. 三、了解绝对收敛级数的性质：绝对收敛的级数重排后得到的新级数也绝对收敛，且其和相等； 四、级数的乘法运算：按“对角线法”排列所组成的级数 称为级数与的柯西乘积. 例题选讲 交错级数判别法的应用 例1（E01）断级数的收敛性. 解 易见题设级数的一般项满足: 所以级数收敛,其和用近似产生的误差 注：判别交错级数（其中）的收敛性时，如果数列单调减少不容易判断，可通过验证当充分大时，来判断当充分大时数列的单调减少；如果直接求极限有困难，亦可通过求（假定它存在）来求. 例2（E02）判断的收敛性. 解 由于所以是交错级数.令有 即时，是递减数列,又利用洛必达法 则有 则由莱布尼茨定理知该级数收敛. 绝对收敛与条件收敛 例3（E03）判别级数的收敛性. 解 由易见当时，题设级数绝对收敛; 当时，由莱布尼茨定理知收敛，但发散，故题设级数条件收敛. 例4（E04）判别级数的收敛性. 解 而收敛,收敛,故由定理知原级数绝对收敛. 例5 判定级数的收敛性. 解 由有 而 可知因此所给级数发散. 例6（E05）判别级数的收敛性. 解 这是一个交错级数,令考察级数是否绝对收敛, 采用比值审敛法: 所以原级数非绝对收敛. 由可知当充分大时,有故所以原级数发散. 例7 判别级数的收敛性. 解 因为 即且 由交错级数审敛法，原级数收敛.另一方面,而发散, 故发散.于是级数是条件收敛的. 课堂练习 1.判别级数的收敛性. 2.设正项数列单调减少, 且级数发散, 试问级数是否收敛并说明理由?