05 第五节 复合函数微分法与隐函数微分法.docVIP

第五节 复合函数微分法与隐函数微分法 在一元函数的复合求导中，有所谓的“链式法则”，这一法则可以推广到多元复合函数的情形. 下面分几种情况来讨论. 分布图示 ★ 链式法则(1) ★ 链式法则(2) ★ 链式法则(3) ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 全微分形式的不变性 ★ 例 8 ★ 例 9 ★ 例 10 ★ 例 11 ★ 隐函数微分法(1) ★ 例12 ★ 例13 ★ 隐函数微分法(2) ★ 例14 ★ 例15 ★ 例16 ★ 例17 ★ 例18 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6-5 内容要点 一、多元复合函数微分法 1．复合函数的中间变量为一元函数的情形 设函数,,构成复合函数 （5.1） 公式(5.1)中的导数称为全导数. 2、复合函数的中间变量为多元函数的情形 设构成复合函数 (5.3) (5.4) 3、复合函数的中间变量既有一元也有为多元函数的情形 定理3 如果函数在点具有对及对的偏导数, 函数在点可导，函数在对应点具有连续偏导数, 则复合函数在对应点的两个偏导数存在, 且有 (5.7) (5.8) 注：这里与是不同的，是把复合函数中的看作不变而对的偏导数，是把函数中的及看作不变而对的偏导数. 与也有类似的区别. 在多元函数的复合求导中，为了简便起见，常采用以下记号: 这里下标1表示对第一个变量求偏导数，下标2表示对第二个变量求偏导数，同理有 等等. 二、全微分形式的不变性 根据复合函数求导的链式法则，可得到重要的全微分形式不变性. 以二元函数为例，设 , 是可微函数，则由全微分定义和链式法则，有 由此可见，尽管现在的u、v是中间变量，但全微分与、是自变量时的表达式在形式上完全一致. 这个性质称为全微分形式不变性. 适当应用这个性质，会收到很好的效果. 三、 隐函数微分法 在一元微分学中，我们曾引入了隐函数的概念，并介绍了不经过显化而直接由方程 (5.11) 来求它所确定的隐函数的导数的方法. 这里将进一步从理论上阐明隐函数的存在性，并通过多元复合函数求导的链式法则建立隐函数的求导公式，给出一套所谓的“隐式”求导法. 定理4 设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数, 且则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 它满足 并有 (5.12) 定理5 设函数在点的某一邻域内有连续的偏导数, 且 则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数, 它满足条件,并有 (5.14) 例题选讲 多元复合函数微分法 例1 (E01) 设而 求导数 解 例2 (E02) 设而 求和 解 例3 求的偏导数. 解 设则 可得 则 例4 设 求和 解 例5 (E03) 设 求 解 例6 设 其中有连续的二阶偏导数, 求 解 设则 例7 (E04) 设 其中函数f有二阶连续偏导数，求和. 解 令记 同理记 例8 （E05）利用全微分形式不变性解本节的例2. 设 而 求和 解 因代入后归并含及的项,得 即 比较上式两边的、的系数,得 它们与例2的结果一样. 全微分形式的不变性 例9 (E06) 利用一阶全微分形式的不变性求函数的偏导数. 解 = 所以 例10 求函数的全微分. 解 设则 于是 由代入上式,得 [] 例11 已知 求和. 解 故所求偏导数 隐函数微分法 例12 (E07) 验证方程在点(0, 1)的某邻域内能唯一确定一个有连续导 数、当时的隐函数,求这函数的一阶和二阶导数在的值. 证 令则 依定理知方程在点的某领域内能唯一确定一个有连续导数,当时的隐函数函数的一阶和二阶导数为 例13 求由方程所确定的隐函数的导数 解 此题在第二章第六节采用两边求导的方法做过,这里我们直接用公式求之. 令则 由原方程知时，所以 例14 (E08) 求由方程所确定的隐函数的偏导数 解 设则且 利用隐函数求导公式，得 例15 求由方程是常数)所确定的隐函数的偏导数和 解 令则显然都是连续.所以，当时，由隐函数存在定理得 例16 (E09) 设 求 解 令则 注