03 第三节 导数的应用.docVIP

第三节 导数的应用 本节我们通过应用实例来看看作为变化率的导数在几何、物理，尤其是在经济学中的应用。 分布图示 ★ 瞬时变化率 ★ 质点的垂直运动模型 经济学中的导数 ★ 边际函数 ★ 边际收入与边际利润 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 函数的弹性 需求弹性 ★ 例7 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 2- 3 内容要点 一、瞬时变化率 二、质点的垂直运动模型 二、经济学中的导数 1、边际分析 在经济学中，习惯上用平均和边际这两个概念来描述一个经济变量对于另一个经济变量的变化. 平均概念表示在在某一范围内取值的变化. 边际概念表示当的改变量趋于0时，的相应改变量与的比值的变化，即当在某一给定值附近有微小变化时，的瞬时变化. 设函数可导，函数值的增量与自变量增量的比值 表示在或内的平均变化率（速度）。 根据导数的定义，导数表示在点处的变化率，在经济学中，称其为在点处的边际函数值。 2、弹性分析 函数弹性的概念：在边际分析中所研究的是函数的绝对改变量与绝对变化率, 经济学中常需研究一个变量对另一个变量的相对变化情况, 为此引入下面定义. 设函数可导，函数的相对改变量 与自变量的相对改变量之比，称为函数在与两点间的弹性（或相对变化率）.而极限称为函数在点处的弹性（或相对变化率）,记为 注: 函数在点的弹性反映随的变化变化幅度的大小,即对变化反应的强烈程度或灵敏度. 数值上, 表示在点处,当产生1%的改变时, 函数近似地改变%, 在应用问题中解释弹性的具体意义时, 通常略去“近似”二字. 需求弹性：设需求函数,这里表示产品的价格.于是,可具体定义该产品在价格时的需求弹性如下: 当很小时,有 , 故需求弹性近似地表示价格时,价格变动1%,需求量将变化. 注: 一般地, 需求函数是单调减少函数, 需求量随价格的提高而减少(当时, ), 故需求弹性一般是负值, 它反映产品需求量对价格变动反应的强烈程度(灵敏度). 例题选讲 瞬时变化率 例1 (E01) 圆面积A和其直径D的关系方程为A=,当D=10m时，面积关于直径的变化是多大？ 解 面积关于直径的变化率是 ， 当D=10m时，面积的变化率是 （） 即当直径由D由10米增加1米变为11米后圆面积约增加5平方米 质点的垂直运动模型 例2 (E02)（质点的垂直运动模型）一质点以每秒50米的发射速度垂直射向空中，秒后达到的高度为（米）（见图），假设在此运动过程中重力为唯一的作用力，试求 (1) 该质点能达到的最大高度？ (2) 该质点离地面120米时的速度是多少？ (3) 何时质点重新落回地面？ 解 依题设及§1.1引例1的讨论,易知时刻t的速度为 (米/秒). 当秒时，变为0，此时质点达到最大高度 (米). 令,解得或6，故 (米/秒) 或 (米/秒). (3) 令,解得(秒),即质点10秒后重新落回地面. 经济学中的导数 边际分析 例3 (E03) 某产品在生产8到20件的情况下，其生产件的成本与销售件的收入分别为 = (元) 与 = (元)， 某工厂目前每天生产10件，试问每天多生产一件产品的成本为多少?每天多销售一件产品面获得的收入为多少? 解 在每天生产10件的基础上再多生产一件的成本大约为: （）, (元), 即多生产一件的附加成本为272元.边际收入为 （）=3，=250(元)， 即多销售一件产品而增加的收入为250元. 解 例4 (E04) 设某种产品的需求函数为, 求当需求量时的总 收入, 平均收入和边际收入. 解 销售件价格为的产品收入为 由需求函数 代入得总收入函数 平均收入函数为 边际收入函数为 当时的总收入为 平均收入为 边际收入为 例5 (E05) 设某产品的需求函数为(P是价格, x是需求量), 成本函数为 (元). (1) 试求边际利润函数, 并分别求和时的边际利润. (2) 求需求量x为多少时, 其利润最大? 解 (1) 已知则有 边际利润函数为 当时的边际利润为 当时的边际利润为 可见销售第151个产品，利润会增加30天，而销售第401个产品后利润将减少20元. (2) 令得 故时, 取得极大值也是最大值 (元). 例6 设某厂在一个计算期内产品的产量x与其成本C的关系为 (元), 根据市场调研得知, 每单位该种产品的价格为6元, 且全部能够销售出, 试求使利润最大的产量. 解 总收入函数为总利润函数