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第四节 高阶导数 根据本章第一节的引例1知道，物体作变速直线运动，其瞬时速度就是路程函数对时间的导数，即 . 根据物理学知识，速度函数对于时间的变化率就是加速度，即是对于时间的导数， 于是，加速度就是路程函数对时间的导数的导数，称为对的二阶导数，记为 . 因此，变速直线运动的加速度就是路程函数对的二阶导数，即 分布图示 ★ 高阶导数的定义 ★ 计算高阶导数的方法 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 高阶导数的运算法则 ★ 例7 常用初选函数的高阶导数公式 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 2- 4 内容要点 一、高阶导数的概念 定义1 如果函数的导数在点x处可导, 即 存在, 则称为函数在点x处的二阶导数, 记为 类似地，二阶导数的导数称为三阶导数, 记为 ，或. 一般地, 的阶导数的导数称为的n阶导数,记为 注: 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 相应地, 称为零阶导数; 称为一阶导数. 二、求高阶导数的方法： 求函数的高阶导数时，除直接按定义逐阶求出指定的高阶导数外（直接法），还常常利用已知的高阶导数公式, 通过导数的四则运算, 变量代换等方法, 间接求出指定的高阶导数（间接法）. 例题选讲 高阶导数的概念 注：讲义的例1、例3含在文件（计算高阶导数的方法）内. 例1 (E01) 设，求. 例3 (E03) 求指数函数的阶导数. 例1 (E02) 设, 求. 解 例2 证明: 函数满足关系式 证 对求导，得 代入原方程,得证毕. 例3 (E04) , 求. 解 …… 若为自然数则 注: 求阶导数时，求出或4阶后，不要急于合并，分析结果的规律性， 写出阶导数 ( 利用数学归纳法). 例4 (E05) 设, 求. 解 …… 例5 (E06) 设,求. 解 …… 即 同理可得 例6 设 为常数), 求 解 …… 例7 设, 求. 解 设则由莱布尼兹公式知 例8 (E07) 设函数, 求. 解 例9 (E08) 设求 解 因为所以 于是，利用高阶导数运算法则和已知高阶导数公式，得 例10设 求 解 课堂练习 1.求函数的二阶导数. 2.设连续, 且, 求. 3.求函数的n阶导数.
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