06 第六节 函数的微分.docVIP

第六节 函数的微分 在理论研究和实际应用中，常常会遇到这样的问题：当自变量有微小变化时，求函数的微小改变量 . 这个问题初看起来似乎只要做减法运算就可以了，然而，对于较复杂的函数，差值却是一个更复杂的表达式，不易求出其值. 一个想法是：我们设法将表示成的线性函数，即线性化，从而把复杂问题化为简单问题. 微分就是实现这种线性化的一种数学模型. 分布图示 ★ 引言 ★ 问题的提出 ★ 微分的定义 ★ 可微的条件 ★ 例1-2 ★ 基本微分公式 ★ 微分四则运算法则 ★ 例3 ★ 例4 ★ 复合函数的微分法 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 微分的几何意义 ★ 函数的线性化 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 例14 ★ 例15 ★ 例16 ★ 误差计算 ★ 例17 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 2- 6 ★ 返回 内容要点 一、微分的定义 定义1 设函数在某区间内有定义, 及在这区间内, 如果函数的增量可表示为 (5.1) 其中A是与无关的常数, 则称函数在点可微, 并且称为函数在点处相应于自变量改变量的微分, 记作, 即 (5.2) 二、函数可微的条件 (5.8) (5.9) 即，函数的导数等于函数的微分与自变量的微分的商. 因此，导数又称为“微商”. 三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 四、微分的几何意义 五、函数的线性化 定义２ 如果在点处可微，那么近似函数 就称为在点处线性化. 近似式称为在点处标准线性近似，点称为该近似的中心. 一些常用函数在处的标准线性近似公式： ；；；；． 六、误差计算：绝对误差；相对误差；百分比误差． 例题选讲 微分的定义 例1 (E01) 求函数当由1改变到1.01的微分. 解 因为由题设条件知 所以 例2 (E02) 求函数在处的微分. 解 函数在处的微分为 基本初等函数的微分公式与微分运算法则的应用 例3 (E03) 求函数的微分. 解 因为 所以 或利用微分形式不变性 例4 (E04) 求函数的微分. 解 因为 所以 复合函数的微分法 例5 (E05) 设 求. 解 设则 注: 与复合函数求导类似, 求复合函数的微分也可不写出中间变量, 这样更加直接和方便. 例6 设 求 解 例7 (E06) 设求. 解 应用微分形式不变性有 例8 (E07) 已知 求. 解 例9 (E08) 在下列等式的括号中填入适当的函数, 使等式成立. (1) ; (2) 解 (1) 一般地，有 (2) 例10(E09) 求由方程所确定的隐函数的微分 解 对方程两边求微分, 得 于是 函数的线性化 例11(E10) 求在与处的线性化. 解 首先不难求得 ，则 ， 于是，根据上面线性化定义知在处的线性化 ， 在处的线性化为 示意图见右,故 （在x=0处）， （在x=3处）． 例12(E11) 求在的线性化． 　解 首先求得，得，又，于是在x=0处的线性化 例13(E12) 半径10厘米的金属圆片加热后, 半径伸长了0.05厘米, 问面积增大了多少? 解 设(厘米), (厘米). （厘米）. 例14 (E13) 计算的近似值. 解 设为弧度),取 所以 例15(E14) 计算下列各数的近似值: (1) (2) 解 (1) (2) 例16(E15) 最后我们来看一个线性近似在质能转换关系中的应用. 我们知道，牛顿的第二运动定律（为加速度）中的质量是被假定为常数的，但严格说来这是不对的，因为物体的质量随其速度的增长而增长. 在爱因斯坦修正后的公式中，质量为