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第三节 泰勒公式 对于一些比较复杂的函数,为了便于研究,往往希望用一些简单的函数来近似表达. 多项式函数是最为简单的一类函数,它只要对自变量进行有限次的加、减、乘三种算术运算,就能求出其函数值,因此,多项式经常被用于近似地表达函数,这种近似表达在数学上常称为逼近. 英国数学家泰勒（Taylor. Brook, 1685-1731）在这方面作出了不朽的贡献. 其研究结果表明: 具有直到阶导数的函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的函数值及各阶导数值组成的次多项式近似表达. 本节我们将介绍泰勒公式及其简单应用. 分布图示 ★ 引言 ★ 多项式逼近 ★ 泰勒中值定理 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 常用函数的麦克劳林公式 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-3 内容要点 一、问题：设函数在含有的开区间(a, b)内具有直到阶导数, 问是否存在一个n次多项式函数 (3.1) 使得 , (3.2) 且误差是比高阶的无穷小,并给出误差估计的具体表达式. 二、泰勒中值公式 (3.6) 拉格朗日型余项 (3.7) 皮亚诺形式余项 (3.9) 带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式 (3.12) 从公式(3.11)或 (3.12)可得近似公式 (3.13) 误差估计式(3.8)相应变成 (3.14) 例题选讲 直接展开法 例1 (E01) 写出函数在处的四阶泰勒公式. 解 于是其中在1与之间. 例2 (E02) 求的n阶麦克劳林公式. 解 注意到代入泰勒公式，得 由公式可知 其误差 取得 其误差 例3 (E03) 求的n阶麦克劳林公式. 解 由此得 的各阶导数依序循环地取四个数令则 其中 取的近似函数与原函数图像比较. 常用初等函数的麦克劳林公式： 简介展开法 在实际应用中, 上述已知初等函数的麦克劳林公式常用于间接地展开一些更复杂的函数的麦克劳林公式, 以及求某些函数的极限等. 例4 (E05) 求 在的泰勒展开式. 解 例5 (E04) 求函数 的带有皮亚诺型余项的阶麦克劳林公式. 解 因为 所以 例6 求的到麦克劳林展开式. 解 因为所以 而 及 故 例7 (E06) 计算 . 解 从而 课堂练习 利用泰勒公式求极限. 泰勒（Taylor, Brook，1685~1731）简介： 泰勒(Taylor,Brook)英国数学家。1685年8月18日生于英格兰德尔塞克斯郡的埃德蒙顿市；1731年12月29日卒于伦敦。 泰勒出生于英格兰一个富有的且有点贵族血统的家庭。父亲约翰来自肯特郡的比夫隆家庭。泰勒是长子。进大学之前，泰勒一直在家里读书。泰勒全家尤其是他的父亲，都喜欢音乐和艺术，经常在家里招待艺术家。这时泰勒一生的工作造成的极大的影响，这从他的两个主要科学研究课题：弦振动问题及透视画法，就可以看出来 。 1701年，泰勒进剑桥大学的圣约翰学院学习。1709年，他获得法学学士学位。1714年获法学博士学位。1712年，他被选为英国皇家学会会员，同年进入促裁牛顿和莱布尼兹发明微积分优先权争论的委员会。从1714年起担任皇家学会第一秘书，1718年以健康为由辞去这一职务。 泰勒后期的家庭生活是不幸的。1721年，因和一位据说是出身名门但没有财才的女人结婚，遭到父亲的严厉反对，只好离开家庭。两年后，妻子在生产中死去，才又回到家里，1725年，在征得父亲同意后，他第二次结婚，并于1729年继承了父亲在肯特郡的财才。1730年，第二个妻子也在生产中死去，不过这一次留下了一个女儿。妻子的死深深地刺激了他，第二年他也去了，安葬在伦敦圣.安教堂墓地。 由于工作及健康上的原因，泰勒曾几次访问法国并和法国数学家蒙莫尔多次通信讨论级数问题和概率论的问题。1708年，23岁的泰勒得到了“振动中心问题”的解，引起了人们的注意，在这个工作中他用了牛顿的瞬的记号。从1714年到1719年，是泰勒在数学牛顿产的时期。他