概率及概率空间.pptVIP

概率及概率空间; ;定义： 随机事件 : 在一定条件下，对随机现象进行一次实 验的每一个可能结果； 必然事件 : 在一定条件下必然要发生的事件，记作 ； 不可能事件 : 在一定条件下不可能发生的事件，记作?。 基本事件 : 在随机实验中，不能分解的事件； ;10 包含关系 ;;;随机事件的运算规律;2.1.1 频 率 ; 大量次的观察，发现事件发生的频率具有稳定性。;频 率 稳 定 值 概率 ;4.频率的性质; 1. 概率的一般（公理化）定义;性质1;则 P (B－A) = P (B) － P (A).;性质4 对于任一事件A，有 ; 性质5 设任意两个事件A、B，则 P(A?B)=P(A)+P(B)－P(AB);推论3 设A1，A2，…，An 是 n 个随机事件， 则; 例 1 设事件A、B、A∪B的概率分别为p、q、r，求P（AB）, P（A ）， P（ B）， P（ ） ; 1.适用的范围广； 2.提供了估算概率的方法； 3.提供了一种检验理论或假设正确与否的方法。; 当涉及随机变量时，我们必须首先定义概率空间；也就是说，我们需要设定一个框架来对偶然性和相应概率进行定义而不用担心一致性问题。 概率的定义具有一致性，具有两个条件： （1） （2）;在实际工作中，我们会经常考察有条件的随机事件，即在一些信息已知的情况下，某一随机现象的变化。 例如，央行加息后股票价格或债券价格的涨落情况、国家的税收政策发生变化后投资回报将如何变动等等，都是典型的条件随机现象，这就是我们在此拟要考察的条件事件和条件概率问题。在后面有关鞅的定义和讨论中，人们会看到条件概率和条件期望更多的作用。;在初等概率论中，我们已经学过，当事件B发生时事件A的概率为 P(A/B)= P(A·B) / P(B), P(B)0 简称事件B关于事件A的条件概率。其中，A/B表示条件事件。 然而，上述公式并不全面，因为当事件B已知后，B的逆 也成为已知信息，人们自然也会关心在已知 情况下事件A的概率，即P(A / )。即使求出P(A / )，也仍存在美中不足的地方，因为信息的最完备形式是σ－代数，所以只有在考察了由B与生成的σ－代数σ(B ? )下事件A的概率后，才可能对B发生以后事件A??生的可能性有更深刻、更全面的认识和了解。为此，需定义和计算P(A/σ(B ? ))。; ; ;设(Ω, F,P)为概率空间，A?F , B?F，且P(B)0。利用公式P(A/B)= P(A·B) / P(B)可知，PB=P(·/B)是由事件B和概率测度P诱导出来的、定义在可测空间(Ω, F)上的概率测度，于是得到一个新的概率空间(Ω, F,PB)。对(Ω, F,PB)上的随机变量?关于概率测度PB求积分。若该积分存在，则称此积分为已知事件B发生条件下?的条件期望，记为E(?|B)，即 E(?/B)= ?(w)dPB = ?P(dw/B) ;2.2 概率空间;样本空间是一个必然事件，其逆事件是一个空集φ。 样本空间可以是一个离散的集合；如抛一枚硬币，分别用{ω1}和{ω2}表示正面和反面的事件，则样本空间Ω={ω1, ω2}是由有限个离散点组成的集合。 样本空间也可以是一个连续的区间或空间。考察2004年我国大学生的就业比率，其基本事件为[0, 1]区间中每一个有理数组成的集合，于是样本空间可用区间[0, 1]中所有有理数组成的集合表示，是含有无限个样本点的集合； 考察某三支股票未来价格（分别设为p1，p2，p3）的变化情况，其基本事件为{(p1，p2，p3)}，其中p1≥0，p2≥0，p3≥0，于是样本空间Ω={( p1，p2，p3)|0? p1? +?，0? p2? +?，0? p3? +?}是一个含有无限点的连续三维空间。;为了保证考察问题的完备性，避免运算、推理过程出现矛盾，就需要所考察事件的集合的构成必须遵循一定规则，于是引出了σ－代数的概念。简单来讲，σ－代数就是根据考察和评价的需要从Ω的子集中挑选出的集合（即事件），并由这些集合按照一定规则构成的集合簇，具体定义为： 定义1 设Ω为样本空间，F是由Ω的一些子集（或事件）组成的集合簇，若F满足下列条件： (i) Ω∈F，即F包含了空间Ω本身； (ii) 若A∈F，则A的逆事件∈F ，即如果事件A（A为Ω的一个子集）属于F， 则A的补集也属于F；