算术平均值的实验标准差和单次测量值的实验标准差的区别.pdf

一、问题的提出 xi i 在不等精度直接测量时， 由各测量值 及其 标准差 σ 计算加权算术平均值 的标准差 时，有两个计算公式 式中 : pi ——各测量值的权； σi ——各测量值的 标准差 ； σ——单位权 标准 差 ； ——加权 算术平均值的 标准差 。 但这两个公式的计算结果有时会相差很大。 那么，在这种情况下， 采用哪个 公式更为合理呢？本文对此从公式的推导到公式的选用进行探讨， 并给出了一般 性的原则。 二、公式的数学推导 在不等精度测量时，各测量值的权的定义式为 : 测量结果的最佳估计值为 : 则测量结果的不确定度评定为 : 对式 (5) 求方差有 设各测量值 xi 的方差都存在，且已知分别为 ，即 D(xi )= 2 由(4) 式有 = σ/ pi 从公式 (1) 的推导，我们可以看出，此时各测量值的方差 ( 或标准差 ) 必须是 已知的。而在实际测量中， 常常各测量值的方差 ( 或标准差 ) 是未知的， 无法直接 应用公式 (1) 进行不确定度评定。但是，从分析来看，如果能由各测量值的残差 ( 其 权等于测量值的权 ) 求出单位权 标准差 的估计值，并将其代入公式 (1) 中，就可计 算出加权算术平均值 标准差 的估计值。为此，作如下推导 : x i n 由残差 νi = i - =1，2，…… i 对 ν 单位权化 由于 vi 的权都相等，因而可设为 1，故用 vi 代替贝塞尔公式中的 νi 可得单位权 标准差 的估计值 将此式代入公式 (1) ，即得到加权算术平均值 标准差 的估计值 从上面的推导我们可以看出，公式 (1) 是在各测量值的 标准差 已知时计算出 的不等精度测量结果的不确定度的准确值；而公式 (2) 是在各测量值的 标准差 未 知时计算出的不等精度测量结果的不确定度的估计值。 从概率论与数理统计知识 可知，只有在 n→∞时，其单位权 标准差 的估计值才能等于单位权的 标准差 ，而 由于测量次数的有限性 和 随机抽样取值的分散性， 这两者是不相等的， 所以由公 式(1) 和公式 (2) 确定的不确定度的值是也不相同的。 三、公式选用的一般原则 笔者用了较大的篇幅来进行公式的数学推导， 主要是为了说明这两个公式推 导的前提是不一样的，其应用当然也就不同。我们分两种情况来进行讨论。 1. 各测量值的 标准差 未知时 显然，在这种情况下， 由于其测量值的权是由其他方法得到的， 而各测量值 的标准差 未知，无法应用公式 (1) 来进行不确定度评定，而只能用公式 (2) 。 2. 各测量值的 标准差 已知时 当已知测量值 xi 和其标准差 σi 时，有两种方法计算 的标准差 : 第一种 方法是用公式 (1) 进行计算， 第二种方法是用公式 (