截面几何性质答案.docVIP

第七章 截面几何性质 基本要求与重点 形心与重心 （1）理解重心与形心，熟知常见规则图形形心的位置。 （2）记住以下常见规则几何图形的形心位置：圆及圆环、矩形、三角形。 （3）能熟练计算，由规则图形构成的组合图形的形心位置。 面积静矩（又称静矩或面矩） （1）了解面积静矩的积分定义，掌握其有限式定义。 （2）能熟练计算组合图形的静矩。 （3）熟知面积静矩的重要性质。 惯性矩与极惯性矩。 （1）理解惯性矩与极惯性矩 （2）了解惯性矩与极惯性矩的定义 （3）掌握惯性矩与极惯性矩之间的关系 （4）掌握平行轴定理及组合图形惯性矩的计算方法。 （5）记住圆及圆环对圆心的极惯性矩 （6）记住矩形截面对其对称轴的惯性矩。 了解惯性积、形心主轴的概念 主要内容 形心与重心（1）概念与性质 重心是物体的重力中心，形心是几何体的形状中心。对均质物体，重心与形心位置重合。 若存在几何对称同，则形心必在对称轴上。（2）计算 形心位置的计算公式分积分式与代数式两种。其中，常用的是代数形式的计算公式： n n x ic Ai yic Ai x c i 1 ， yc i 1 A A 面积静矩（又称静矩或面矩） （1）定义：分为代数式和积分式两种形式 有限式：几何图形的面积乘以形心到某轴的距离的坐标值，称为该图形对该轴的静矩。积分式：几何图形的元面积乘以点到某轴的距离的坐标值，称为该元面积对该轴的静矩； 所有点的元面积静矩之和，为几何图形的对该轴的静矩。 （2）面积静矩的重要性质：若图形对某轴的面积静矩为零，则该轴过这一图形的形心；反之亦然。也就是说，静矩为零与轴过形心互为充要条件。 （3）计算 根据实际情况可选用代数式或积分式进行计算，工程中主要是利用代数式进行计算。 n n Sx Six yi Ai yc A i 1 i 1 n n Sy Siy xi Ai x c A i 1 i 1 3. 惯性矩与极惯性矩。 （1）定义 点对轴的惯性矩： dI z y 2 dA ， dI y z 2 dA 点对点的极惯性矩 dI O 2 dA 图形对轴的惯性矩 I z y2dA , I y z 2dA A A 图形对点的惯性矩 I p A 2dA （3）掌握惯性矩与极惯性矩之间的关系 若 I y、 I z 是某一图形对直角坐标系 yOz 中两轴的惯性矩， I p 是对该坐标系原点 O的极惯 性矩。则： I p I zI y （4）惯性矩的平行轴定理：几何图形对任意轴的惯性矩，等于对与该轴平行、且过形心 的轴的惯性矩与两轴之间距离的平方与图形面积之积的和。 （太长了，慢慢读）即： I z I zC A d 2 （5）组合图形对过图形形心轴的惯性矩的计算方法。 1 步：将图形分割为几个简单图形，按形心计算公式求出总的形心位置。 2 步：利用平行轴定理，计算各简单图形对过总形心轴的惯性矩。 3 步：将各简单图形对同一轴的惯性矩求和。 惯性积、形心主轴的概念 惯性积与主轴是对一个平面直角坐标系而言的。 I yz z ydA A 惯性积的值可为：正、负或零。 当 I yz 0 时，对应的坐标轴 y、 z 称为主轴，对主轴的惯性矩称为主惯性矩。 当坐标原点在形心时，对应的坐标轴称为形心主轴；对应的惯性矩称为形心主惯性矩。 两个主惯性矩分别是过该点的所有惯性矩的最大值与最小值。 思考题与习题 7-1 ．如图所示 T 形截面， C为形心， z 为形心轴，问 z 轴上下两部分对 z 轴的静矩存在什么关系？ 答：大小相等，正负号相反（上面的静矩为正） 。 7-2 ．如图所示矩形截面 m-m以上部分对形心轴 z 的静矩和 m-m以下部分对形心轴 z 的静矩有何关系？ 答：同上。 7-3 ．惯性矩、 惯性积、极惯性矩是怎样定义的？为什么它们的值有的恒为正？有的可正、可负、还可为零？ 答: 定义在主要内容中所详细说明。 由定义可知，它们分别是面积元与坐标的函数的积的定积分。 面积元为正，坐标可能为正、 负、零。所以惯性积，可为正、负、零。而（极）惯性矩是面积与坐标平方的积，恒为正，所 以它们的积分也为正。 7-4 ．图 a 所示矩形截面，若将形心轴 z 附近的面积挖去，移至上下边缘处，成为工字形截面图 b，问此截面对 z 轴的惯性矩有何变化？为什么？ 答：惯性矩为变大。因为点到轴的距离越远越惯性矩越大， b) 图离轴远的点更多。 7-5 ．图示直径为 D 的半圆，已知它对 z 轴的惯性矩 I z D 4 ，则对 z1 轴的惯性矩如下计 128 算是否正确？为什么？ D 4 D 2 5 D 4 2 A D 2 I z1 I 1 a 128 2 8 128 答：不对。 平行移轴公式 I z I zC a 2 A 中，