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离散小波变换 知识点K4.04 离散小波变换 主要内容： 1. 离散小波函数的定义 2. Haar小波 3. DWT 的快速算法 基本要求： 1. 了解离散小波函数点 2. 了解Haar小波的特点 3. 了解DWT快速分解与合成的实现原理 0 Xidian University, ICIE. All Rights Reserved 离散小波变换 1. 离散小波函数 尺度化的连续小波变换不是真正的离散变换，因为小波函数 在平移轴（即时间轴）上是连续的，仅仅是尺度采样。离散小 波变换（DWT ）是同时针对尺度和平移进行离散化采样，它则 不仅提供了信号分析和重构所需的足够信息，而且便于计算机 实现，运算量也大为减少。 1 Xidian University, ICIE. All Rights Reserved 离散小波变换 需要特别注意的是，离散小波变换中并未对小波函数和信号在 时间轴上进行离散采样，因此小波系数的积分仍然是采用连续 积分来完成的。离散小波变换可以认为是在尺度-平移平面上若 干散列点上进行小波变换得到的结果，这些点构成了规则的栅 格排列。 图9.4-1 DWT 的尺度-平移采样示意图 2 Xidian University, ICIE. All Rights Reserved 离散小波变换 正交变换可以保证信号在变换前后的能量是相等的，这一点 在傅里叶变换中已经体现出来了。 3 Xidian University, ICIE. All Rights Reserved 离散小波变换 小波变换每次得到频率较高的一半，剩下一半的频谱，由于 绝大多数信号存在直流或低频分量，因此如果要继续用小波函 数来实现对频谱的完整覆盖，那将需要无穷多次小波变换，也 就是这个频谱上的 “洞”永远无法完全补上，只会越来越小， 这就导致了尺度轴上的无穷次计算。 为此引入尺度函数，由于其低通特性，低通函数常被称为平 均滤波函数，它对应一个低通滤波器。 4 Xidian University, ICIE. All Rights Reserved 离散小波变换 2. Haar小波 若信号分解以Haar函数为基函数，则其幅度系数表明了某个 区间内常数分量的大小，其本质上表征的是区间内的信号均值。 5 Xidian University, ICIE. All Rights Reserved 离散小波变换 Haar小波的系数表明前半个区间[0,1/2)内的信号均值与后半 个区间[1/2,1)内信号均值之间的差值，也就是表征了高频信息。 结合Haar 函数的意义，我们可以知道对一个作用区间为[0,1) 的函数而言，如果将其变换或者分解为尺度函数和小波函数的 组合表示，那么的尺度系数表明的整个信号的均值，即低频信 息，而则小波系数给出了[0,1/2) 和[1/2,1)两段子区间内信号均值 的差值，即高频信息 6 Xidian University, ICIE. All Rights Reserved 离散小波变换 7