(完整word版)全国初中数学联赛金牌教练讲座：第二十讲飞跃-从全等到相似.docVIP

兰州第十中学 数学组 2013 年必威体育精装版八年级数学竞赛讲座 第二十讲 飞跃 - 从全等到相似 全等三角形是相似三角形的相似比等于 1 的特殊情况， 从全等到相似是 认识上的一个巨大飞跃， 不但认识形式上有质的变化．而且思维方式也产生突变，相等是全等三角形的主旋律，在相似形的问题中出现 的线段间的关系比全等形中的等量关系复杂，不仅有比例式，还有等积式、平方式、线段乘积的和、差、线段比的和差等． 通过寻找 ( 或构造 ) 相似三角形， 用以计算或论证的方法， 我们称为相似三角形法， 在线段长度的计算、角相等的证明、比例线段的证明等方面有广泛的应用，是几何学中应用最广泛的方法之一． 熟悉以下形如“ A 型”、“X 型”“子母型”等相似三角形． 例题求解 【例 1】如图，△ ABC中，∠ ABC=60’°，点 P 是△ ABC内一点，使得∠ APB=∠ BPC=∠ CPA，且 PA=8， PC=6，则 PB= ． ( 全国初中数学竞赛题 ) 思路点拨 PA 、 PB、 PC分别是△ ABP、△ BCP的边，从判定这两个三角形的关系入手． 注 相似是几何中的一个概念，但相似性不仅表现在事物的几何形态上，而且还体现在事物的功能、结 构、原理上． 类比推理也贯穿在物理学的全部发展过程中，著名物理学家麦克斯韦曾说： “借助类比，我试图以便 利的形式提出研究电现象所必须的数学手段和公式． ” 在新事物面前，人们往往习惯于把它们与原有的、熟 知的事物相比．这里蕴含的思想方法就是类比． 【例 2】 a 、 b、c 分别是△ ABC的三边的长，且 a a b b a ，则它的内角∠ A、∠ B 的关系是 ( ) b c 第1页（共 9页） A ．∠ B2∠ A B ．∠ B=2∠ A C ．∠ B2∠ A D ．不确定 ( 全国初中数学联赛试题 ) 思路点拨 先化简已知等式，根据所得等式构造相应线段，通过全等或相似寻找角的关系． 【例 3】 如图，在△ ABC中， AB=AC，AD是中线， P 是 AD上一点，过 C 作 CF∥ AB，延长 BP交 AC于 2 E，交 CF于 F．求证： BP=PE×PF ( 吉林省中考题 ) 思路点拨 由于 BP、 PE、 PF在同一条直线上，所以必须通过作辅助线寻找等线段来转化问题． 【例 4】 如图，在矩形 ABCD中， E 为 AD的中点， EF⊥ EC交 AB于 F，连结 FC(ABAE) ． △ AEF与△ EFC是否相似，若相似，证明你的结论，若不相似，请说明理由； (2) 设 AB k ，是否存在这样的 k 值，使△ AEF 与△ BFC 相似 ?若存在，证明你的结论并求出 k 的值： BC 若不存在，说明理由． ( 重庆市中考题 ) 思路点拨 本例是一道存在性探索问题，对于 (2) ，假设存在，则 Rt△ AEF 与 Rt △ BFC中有一对锐角相 等，怎样由边的比值得出角的关系 ?不妨从特殊角入手，逆推求出 k 的值． 【例 5】 如图，△ ABC和△ Al Bl C1 均为正三角形， BC和 B1C1 的中点均为 D．求证： AA1⊥ CC1． ( 重庆市竞赛题 ) 第2页（共 9页） 思路点拨 作出等边三角形最基本的辅助线， 并延长 AAl 交 CCl 于 E，寻找相似三角形， 证明∠ A=90°． 注 比例 线段 ( 或等积式的 ) 证明是几何问题中的常见题型．基本证法有： 从相似三角形入手； 利用平行截割定理． 有时需根据要证明的式子，过恰当的点作平行线，在具体证明过程中，常常要作等线段代换、等比代 抉或等积代换，以促使问题的转化． 将问题置于几何问题的背景中探索，要综合运用几何代数知识，多角度思考尝试，需要注意的是，若题目没有指出具体的对应关系，结论常常具有不确定性，需要分类讨论． 学力训练 1 ．如图，由边长为 1 的 25 个小正方形组成的正方形网格上有一个△ ABC，在网格上，画出一个与△ ABC 相 似 且 面 积 最 大 的 △ A1Bl C1 ， 使 它 的 三 个 顶 点 都 落 在 小 正 方 形 的 顶 点 上 ， 则 △ A1Bl C1 的 面 积 是 ． ( 泰州市中考题 ) 2．如图，在△ ABC中， AB=15cm， AC=12cm， AD是∠ BAC的外角平分线， DE∥AB交 AC的延长线于点 C，那 么 CE=cm． ( 重庆市中考题 ) 3．如图，正方形 ABCD的边长为 2， AE=BE， MN=1，线段 MN的两端点在 CB、 CD上滑动，当 CM= 时， AED与以 M、 N、 C为顶点的三角 形相似． ( 桂林市中考题 ) 4．如图，在正方形 ABCD中， E 是 BC的中点， F 是 CD上一点， AE⊥ EF