概率论与数理统计课件：补充案例 分赌本问题.pptVIP

分赌本问题 历史名题 概率名人堂 经典历史名题: 分赌本问题 * * Algebra– Chapter 1 Random Events and Probability Tan Kah Kee College 追溯数学期望的历史: 分赌本问题 C. Huygens (1629～1695 ) 提出数学期望 Pierre de Fermat (1601～1665 ) 费马 惠更斯 帕斯卡 Blaise Pascal (1623～1662 ) (通信) 甲、乙两人赌博，各出注金a元。每局个人获胜的概率都是50%，约定：谁先胜6局就赢得全部注金 2a元，现进行到甲胜4局乙胜2局时赌博因故停止，无法继续下去。 问此时注金2a应如何分配给甲乙，才算公平？ (1494年, 帕西奥利) 1:1分是否合理？ 2:1分是否公平? 本质:什么是公平? 要结果公平? 还是要机会公平? 公平的比例? “公平”分为两种：结果公平与机会公平。 如果按照结果公平的原则来分配，则每个人各自取回自己的赌本，即各得一半。但很显然，那个已经赢了较多局数的人肯定不会认为自己受到了公平的待遇，因为他认为自己获胜的机会要更大一些。 其实，要让那个赢的局数多一点的人多得一点注金的想法，大多数的数学家都已经考虑到了，所不同的只是具体以什么比例来分配的问题。 精确的阐述还需要用到数学期望的概念，但我们可以这样来理解这个问题，其出发点就是，谁成功的机会大，谁应分得的份额就大。 设甲最终获胜的概率为p，乙最终获胜的概率为q，则显然有p+q=1。所谓“机会公平”的含义是指，每个人应该按照其最终获胜的概率来分配注金，即甲应该得2ap，乙得2aq。 这种方法照顾到了已赌结果，又包括了再赌下去的一种“期望”，它自然比前两种方法都更为合理，使甲乙双方都乐于接受。 乙只有在下面两种情形下才有可能获胜： 1）连胜四局，其概率为1/16。 2）在接下来的四局中至少要赢3局，并且第五局一定要赢，这样运用伯努利概型算下来，应该等于4/32或1/8。 最后由概率的可加性，得乙最终获胜的概率为3/16。于是甲获胜的概率为13/16。 于是，最后甲应该分得注金2(13/16)a = 1.625a，乙应该分得0.375a。 如果你算对了， 那祝贺你一下子就超越了那么多古代的数学家。 解法一: 分赌本问题在概率史上起的作用，在于通过这个 在当时来说较复杂的问题的探索，对数学期望及 其与概率的关系，有了启示。有的解法, 特别是 帕斯卡的解法, 使用或隐含了若干直到现在还广 为使用的计算概率的工具，如组合法、递推公式、 条件概率和全概率公式等、可以说，通过对这个 问题的研究，概率计算从初期简单计数步入较为 精细的阶段。 1654年,职业赌徒德·梅累向法国数学家帕斯卡 （B.Pascal,1623-1662）提出一个使他苦恼很久 的分赌本问题：甲、乙两赌徒赌技相同，各出 赌注50法郎，每局中无平局。他们约定，谁先 赢三局则得到全部100法郎的赌本。当甲赢了 两局，乙赢了一局时，因故要中止赌博。 现问这100法郎如何分才算公平？ 简化版问题 帕斯卡与另一位法国数学家费马（Fermat, 1601～1665）在一系列通信中就这一问题展开了 讨论。事实上，很容易设想出以下两种分法： （1）甲得100·(1/2) 法郎，乙得100·(1/2) 法郎； （2）甲得100·(2/3) 法郎，乙得100·(1/3) 法郎。 第一种分法考虑到甲、乙两人赌技相同，就平均 分配，没有照顾到甲已比乙多赢一局这一个现实， 对甲显然是不公平的。第二种分法不但照顾到了 “甲乙赌技相同”这一前提，还尊重了已经进行的 三局比赛结果，当然更公平一些。但是，第二种 分法还是没有考虑到如果继续比下去的话会出现 什么情形，即没有照顾两人在现有基础上对比赛 结果的一种期待。