灵活运用三角函数基本关系解题.docVIP

灵活使用同角三角函数的基本关系解题 商等于角x的正切，即sin2x+cos2x=1，tanx=sinx/cosx(x≠kπ+π/2, k∈Z),这两大基本关系的作用如下：1.知一求一，由平方关系知，只须知道sinx,cosx中的一个，即可求出另一个，比如由sin2x+cos2x=1可得sinx=±, cosx=±,正弦与余弦值确定了，正切值也就确定了;2.商数关系蕴含了弦切互化的思想，对于tanx=sinx/cosx，左边到右边，实现了切化为弦，右边到左边，实现了弦化为切;3.变形式，比如sin2x=（1+cosx）（1-cosx）, cos2x=（1+sinx）（1-sinx）;（sinx±COSX）2=1±2sinx.cosx,该式实现了同角正余弦和（差）式与其乘积式的互化;4.换元处理，由sin2x+cos2x=1可得a2= a2(sin2x+cos2x)=(asinx）2+(acosx) 2=1,对于X2+Y2=R2则可换为X=Rcosx,Y=Rsinx(x为参数)，同理(X-a) 2+(Y-b) 2=R2，可转化为X=Rcosx+a,Y=Rsinx+b，X2/a2+Y2/b2=1,可转化为X=acosA,Y=bsinA(A为参数)等等。面对具体问题时，必须灵活使用同角三角函数的基本关系，方能做到对问题的准确处理。下面给出几个实例. 给值求值 例1.见教材P19，例6，已知sinx=-3/5，求cosx，tanx之值。 简析：欲求cosx可由sin2x+cos2x=1推出cosx=±，然后即可代值求cosx，最后求tanx之值。需提醒的是：在求值前应先由函数值的正负判断角所在象限。解答过程略. 例2.在△ABC中，ABC为其三角形内角，且cosA=1/3,求sinA,tanA. 解：∵A为△ABC的内角，∴0Aπ∵cosA= 1/30, ∴sinA0，tanA0. 故易求得sinA=，tanA=. 例3.已知tanx=,求sinx,cosx之值 解：∵tanx=0，∴sinx/cosx=， eq \o\ac(○,1)∵又sin2x+cos2x=1 eq \o\ac(○,2) 由 eq \o\ac(○,1)、 eq \o\ac(○,2)联立解得sinx=/2，cosx=1/2或sinx=-/2，cosx=-1/2即sinx=/2，cosx=1/2或sinx=-/2，cosx=-1/2。 二、化简求值 例4，已知tanA=2,试求 （1）（sinA+ cosA）/（2cosA+sinA） （2）（2sinA+5cosA）/（6sinA+ 4cosA） （3）sinA .cosA之值 解析：由条件及问题暗示本问题解决需用到弦切互化思想. 方法一：切化弦 由tanA=2推出sinA=2 cosA（cosA≠0）， ∴（1）=（2 cosA+cosA）/（2 cosA+2 cosA）=3/4 （2）=（4cosA+5 cosA）/（12 cosA+4 cosA）=9/16 （3）=sinx cosx / （sin2x+ cos2x）=2 cos2x/（4 cos2x+ cos2x）=2/5 方法二：弦化切 （1）=（sinx+ cosx）/ cosx）/（2 cosx+ sinx） / cosx）=（tanA+1）/（2+tanA）=3/4 （2）=（2tanA+5）/（4+6tanA）==9/16 （3）= sinA cosA/（sin2A+ cos2A）= tanA/（tan2A+1）=2/5 提示：（3）的问题解决用到1= sin2A+ cos2A这个恒等式。 三、变形求值 例5.见教材P21，已知tanx=，πx3π/2。求sinx-cosx. 解：∵tanx=，πx3π/2∴sinx 0，cosx0且| sinx | | cosx |，∴-sinx-cosx ∴ sinx cosx，∴sinx-cosx 0，∵（sinx-cosx）2= sin2x+cos2x-2 sinx .cosx= （sin2x+cos2x-2 sinx .cosx）/（ sin2x+cos2x）= （tan2x+1-2 tanx）/ （tan2x+1）=（（）2+1-2）/（（）2+1）=（4-2）/4=1-/2∴sinx-cosx=1/2-/2 例6.已知sinx+cosx=/2-1/2，且0Xπ，则tanx的值为（ ） A．-/3，B.-，C./3，D. 解：∵0Xπ, ∴sinx0，∵0sinx+cosx=1-/21, ∴cosx0，∴tanx0, ∵sinx+cosx0, ∴sinx - cosx, ∴tanx-1,∴选B。 四、化简 例7．化简：+,A∈(π/2，π) 解：∵A(π/2，π), ∴sinA0,∴上式=+=2Sin