高考数学题库第5章第4节数列求和.DOCVIP

2010~2014年高考真题备选题库 第5章 数列 第4节 数列求和 1．（2014山东，12分）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝(－1)n－1eq \f(4n,anan＋1)，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)因为S1＝a1，S2＝2a1＋eq \f(2×1,2)×2＝2a1＋2， S4＝4a1＋eq \f(4×3,2)×2＝4a1＋12， 由题意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12 解得a1＝1，所以an＝2n－1. (2)bn＝(－1)n－1eq \f(4n,anan＋1)＝(－1)n－1eq \f(4n,?2n－1??2n＋1?)＝(－1)n－1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)＋\f(1,2n＋1))). 当n为偶数时， Tn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(1,5)))＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－3)＋\f(1,2n－1)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)＋\f(1,2n＋1)))＝1－eq \f(1,2n＋1)＝eq \f(2n,2n＋1). 当n为奇数时， Tn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(1,5)))＋…－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－3)＋\f(1,2n－1)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)＋\f(1,2n＋1)))＝1＋eq \f(1,2n＋1)＝eq \f(2n＋2,2n＋1). 所以Tn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(2n＋2,2n＋1)，n为奇数，,\f(2n,2n＋1)，n为偶数.))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或Tn＝\f(2n＋1＋?－1?n－1,2n＋1))) 2．（2014浙江，14分）已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an＝(eq \r(2))bn(n∈N*)．若{an}为等比数列，且a1＝2，b3＝6＋b2. (1)求an与bn； (2)设cn＝eq \f(1,an)－eq \f(1,bn)(n∈N*)．记数列{cn}的前n项和为Sn. ①求Sn； ②求正整数k，使得对任意n∈N*，均有Sk≥Sn. 解：(1)由题意a1a2a3…an＝(eq \r(2))bn，b3－b2＝6， 知a3＝(eq \r(2))b3－b2＝8. 又由a1＝2，得公比q＝2(q＝－2舍去)， 所以数列{an}的通项为an＝2n(n∈N*)． 所以a1a2a3…an＝2eq \f(n?n＋1?,2)＝(eq \r(2))n(n＋1)． 故数列{bn}的通项为bn＝n(n＋1)(n∈N*)． (2)①由(1)知cn＝eq \f(1,an)－eq \f(1,bn)＝eq \f(1,2n)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))(n∈N*)， 所以Sn＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,22)＋…＋eq \f(1,2n)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝1－eq \f(1,2n)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n＋1)))＝eq \f(1,n＋1)－eq \f(1,2n)(n∈N*)． ②因为c1＝0，c20，c30，c40； 当n≥5时， cn＝eq \f(1,n?n＋1?)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(n?n＋1?,2n)－1))， 而eq \f(n?n＋1?,2n)－eq \f(?n＋1??n＋2?,2n＋1)＝eq \f(?n＋1??n－2?,2n＋1)0， 得eq \f(n?n＋1?,2n)≤eq \f(5·?5＋1?,25)1， 所以，当n≥5时，cn0. 综上，对任意n∈N*恒有S4≥Sn，故k＝4. 3．（2014江西，12分）已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)，满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝