高考数学题库第8章第4节直线与圆、圆与圆的位置关系.DOCVIP

2010~2014年高考真题备选题库 第8章 平面解析几何 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（2014江西，5分）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为(　　) A. eq \f(4,5)π B. eq \f(3,4)π C．(6－2eq \r(5))π D. eq \f(5,4)π 解析：选A　法一：设A(a,0)，B(0，b)，圆C的圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(b,2)))，2r＝eq \r(a2＋b2)，由题知圆心到直线2x＋y－4＝0的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(b,2)－4)),\r(5))＝r，即|2a＋b－8|＝2eq \r(5)r，2a＋b＝8±2eq \r(5)r，由(2a＋b)2≤5(a2＋b2)，得8±2eq \r(5)r≤2eq \r(5)r?r≥eq \f(2,\r(5))，即圆C的面积S＝π r2≥eq \f(4,5)π. 法二：由题意可知以线段AB为直径的圆C过原点O，要使圆C的面积最小，只需圆C的半径或直径最小．又圆C与直线2x＋y－4＝0相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点O到直线2x＋y－4＝0的距离，此时2r＝eq \f(4,\r(5))，得r＝eq \f(2,\r(5))，圆C的面积的最小值为S＝πr2＝eq \f(4,5)π. 答案：A 2．（2014新课标全国卷Ⅱ，5分）设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________． 解析：由题意可知M在直线y＝1上运动，设直线y＝1与圆x2＋y2＝1相切于点P(0,1)．当x0＝0即点M与点P重合时，显然圆上存在点N(±1，0)符合要求；当x0≠0时，过M作圆的切线，切点之一为点P，此时对于圆上任意一点N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在∠OMN＝45°，只需∠OMP≥45°.特别地，当∠OMP＝45°时，有x0＝±1.结合图形可知，符合条件的x0的取值范围为[－1,1]． 答案：[－1,1] 3．（2014江苏，5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________． 解析：因为圆心(2，－1)到直线x＋2y－3＝0的距离d＝eq \f(|2－2－3|,\r(5))＝eq \f(3,\r(5))，所以直线x＋2y－3＝0被圆截得的弦长为2eq \r(4－\f(9,5))＝eq \f(2\r(55),5). 答案：eq \f(2\r(55),5) 3．（2014重庆，5分）已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________. 解析：依题意，圆C的半径是2，圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离等于eq \f(\r(3),2)×2＝eq \r(3)，于是有eq \f(|1·a＋a－2|,\r(a2＋1))＝eq \r(3)，即a2－8a＋1＝0，解得a＝4±eq \r(15). 答案：4±eq \r(15) 4．（2014湖北，5分）直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________. 解析：由题意得，直线l1截圆所得的劣弧长为eq \f(π,2)，则圆心到直线l1的距离为eq \f(\r(2),2)，即eq \f(|a|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)?a2＝1，同理可得b2＝1，则a2＋b2＝2. 答案：2 5．（2014江苏，16分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆．且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m．经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tan∠BCO＝eq \f(4,3 (1)求新桥BC的长； (2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？ 解：法一：(1)如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy. 由条件知A(0,60)，C(170,0)， 直线BC的斜率kBC＝ －tan∠BCO＝－eq \f(4,3). 又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率kAB＝eq \f(3,4). 设点B的坐标为(a，b)， 则kBC＝eq \f(b－0,a－170)＝－eq \f(4,3)，kAB＝eq \f(b－60,a－0