高考数学题库第6章第4节基本不等式.DOCVIP

2010~2014年高考真题备选题库 第6章 不等式、推理与证明 第4节 基本不等式 1．（2014辽宁，5分）对于c0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋4b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，eq \f(3,a)－eq \f(4,b)＋eq \f(5,c)的最小值为________． 解析：设2a＋b＝t，则2a＝t－b， 因为4a2－2ab＋4b2－c＝0， 所以将2a＝t－b代入整理可得 6b2－3tb＋t2－c＝0　①， 由Δ≥0解得－ eq \r(\f(8,5)c)≤t≤ eq \r(\f(8,5)c)， 当|2a＋b|取最大值时t＝ eq \r(\f(8,5)c)，代入①式得b＝eq \r(\f(c,10))， 再由2a＝t－b得a＝eq \f(3,2)eq \r(\f(c,10))，所以eq \f(3,a)－eq \f(4,b)＋eq \f(5,c)＝eq \f(2\r(10),\r(c))－eq \f(4\r(10),\r(c))＋eq \f(5,c)＝eq \f(5,c)－eq \f(2\r(10),\r(c))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),\r(c))－\r(2)))2－2≥－2，当且仅当c＝eq \f(5,2)时等号成立． 答案：－2 2．（2013福建，5分）若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(　　) A．[0,2]　　　　　　　　　　 B．[－2,0] C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 解析：本题主要考查基本不等式，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力．∵2x＋2y≥2eq \r(2x·2y)＝2eq \r(2x＋y)(当且仅当2x＝2y时等号成立)，∴eq \r(2x＋y)≤eq \f(1,2)，∴2x＋y≤eq \f(1,4)，得x＋y≤－2，故选D. 答案：D 3．（2013山东，5分）设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当eq \f(xy,z)取得最大值时，eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)－eq \f(2,z)的最大值为(　　) A．0 B．1 C.eq \f(9,4) D．3 解析：本题考查基本不等式、二次函数的性质等基础知识，考查等价转化的数学思想方法，考查运算求解能力，考查分析问题和解决问题的能力.eq \f(xy,z)＝eq \f(xy,x2－3xy＋4y2)＝eq \f(1,\f(x,y)＋\f(4y,x)－3)≤eq \f(1,4－3)＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，此时z＝2y2，eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)－eq \f(2,z)＝－eq \f(1,y2)＋eq \f(2,y)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)－1))2＋1≤1，当且仅当y＝1时等号成立，故所求的最大值为1. 答案：B 4．（2013山东，5分）设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当eq \f(z,xy)取得最小值时，x＋2y－z的最大值为(　　) A．0 B.eq \f(9,8) C．2 D.eq \f(9,4) 解析：本题主要考查基本不等式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力和转化思想、函数和方程思想． eq \f(z,xy)＝eq \f(x2－3xy＋4y2,xy)＝eq \f(x,y)＋eq \f(4y,x)－3≥2 eq \r(\f(x,y)·\f(4y,x))－3＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，因此z＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，所以x＋2y－z＝4y－2y2＝－2(y－1)2＋2≤2. 答案：C 5．（2012福建，5分）下列不等式一定成立的是(　　) A．lg(x2＋eq \f(1,4))＞lg x(x＞0) B．sin x＋eq \f(1,sin x)≥2(x≠kπ，k∈Z) C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D.eq \f(1,x2＋1)＞1(x∈R) 解析：取x＝eq \f(1,2)，则lg(x2＋eq \f(1,4))＝lg x，故排除A；取x＝eq \f(3,2)π，则sin x＝－1，故排除B；取x＝0，则eq \f(1,x2＋1)＝1，故排除D. 答案：C 6．（2012山东，4分）若对任意x0，eq \f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则a的取值范围是________． 解析：若对任意x0，eq \f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立， 只需求得y＝eq \f(x,x2＋3x＋1)的最大值即可． 因为x0，所以 y＝eq \f(x,x2＋3x＋1)＝eq \f(1,x＋\f(1,x)＋3)≤eq \f(1,2 \r(x·\f(1,x))＋3)＝eq \f(1,5)，