高考数学题库第8章第9节圆锥曲线的综合问题.DOCVIP

2010~2014年高考真题备选题库 第8章 平面解析几何 第9节 圆锥曲线的综合问题 1．（2014浙江，15分）如图，设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(ab0)，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限． (1)已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标； (2)若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a－b. 解：(1)设直线l的方程为y＝kx＋m(k0)， 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1))消去y得 (b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2 由于l与C只有一个公共点，故Δ＝0， 即b2－m2＋a2k2＝0， 解得点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a2km,b2＋a2k2)，\f(b2m,b2＋a2k2))). 又点P在第一象限， 故点P的坐标为Peq \f(－a2k,\r(b2＋a2k2))，eq \f(b2,\r(b2＋a2k2)). (2)由于直线l1过原点O且与l垂直，故直线l1的方程为x＋ky＝0， 所以点P到直线l1的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(－a2k,\r(b2＋a2k2))＋\f(b2k,\r(b2＋a2k2)))),\r(1＋k2))， 整理得d＝eq \f(a2－b2,\r(b2＋a2＋a2k2＋\f(b2,k2)))， 因为a2k2＋eq \f(b2,k2)≥2ab， 所以eq \f(a2－b2,\r(b2＋a2＋a2k2＋\f(b2,k2)))≤eq \f(a2－b2,\r(b2＋a2＋2ab))＝a－b， 当且仅当k2＝eq \f(b,a)时等号成立． 所以点P到直线l1的距离的最大值为a－b. 2．（2014北京，14分）已知椭圆C：x2＋2y2＝4. (1)求椭圆C的离心率； (2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论． 解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1. 所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2. 因此a＝2，c＝eq \r(2). 故椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2). (2)直线AB与圆x2＋y2＝2相切．证明如下： 设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t,2)，其中x0≠0. 因为OA⊥OB，所以·＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－eq \f(2y0,x0). 当x0＝t时，y0＝－eq \f(t2,2)，代入椭圆C的方程，得t＝±eq \r(2)， 故直线AB的方程为x＝±eq \r(2).圆心O到直线AB的距离d＝eq \r(2). 此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切． 当x0≠t时，直线AB的方程为y－2＝eq \f(y0－2,x0－t)(x－t)． 即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0. d＝eq \f(|2x0－ty0|,\r(?y0－2?2＋?x0－t?2)) . 又xeq \o\al(2,0)＋2yeq \o\al(2,0)＝4，t＝－eq \f(2y0,x0)，故 d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2x0＋\f(2y\o\al(2,0),x0))),\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)＋\f(4y\o\al(2,0),x\o\al(2,0))＋4))＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4＋x\o\al(2,0),x0))),\r(\f(x\o\al(4,0)＋8x\o\al(2,0)＋16,2x\o\al(2,0))))＝eq \r(2). 此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切． 3．（2014湖南，13分）如图，O为坐标原点，椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2＝eq \f(\r(3),2)，且|F2F4|＝eq \r(3)－1. (1)求C1，C2的的方程； (2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值． 解：(1)因为e1e2＝eq \f(\r(3),2)，所以eq \f(\r(a2－b2),a)·eq \f(\r(a2＋b